Question

設(shè)f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，滿足條件：①f（xy）=f（x）+f（y）；②當(dāng)x＞1時，f（x）＞0恒成立．
（Ⅰ）判斷f（x）在（0，+∞））上的單調(diào)性，并加以證明；
（Ⅱ）若f（2）=1，求滿足f（x）+f（x-3）≤2的x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先判斷，后證明，利用單調(diào)性的定證明；
（Ⅱ）由2=f（2）+f（2）=f（4）將f（x）+f（x-3）≤2化為f（x（x-3））≤f（4），從而求解．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）為定義域上的增函數(shù)，證明如下：
設(shè)任意x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
因為f（xy）=f（x）+f（y），所以f（xy）-f（x）=f（y），
取xy=x₂，x=x₁，則y=

x2

x1

，即f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)，
因為x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，所以

x2

x1

＞1，
又當(dāng)x＞1時，f（x）＞0恒成立，所以f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)＞0
即f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)．
（Ⅱ）由2=f（2）+f（2）=f（4），
則f（x）+f（x-3）≤2可化為f（x（x-3））≤f（4），
即

x＞0 x-3＞0 x(x-3)≤4

，
解得，3＜x≤4，
故x的取值范圍為（3，4]．

點(diǎn)評：本題考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明與應(yīng)用，屬于中檔題．