Question

4．已知平面區(qū)域Ω=$\left\{{（x，y）\left|{0≤y≤\sqrt{4-{x^2}}}\right.}\right\}$直線l：y=mx+2m和曲線C：$\left\{{（x，y）\left|{\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.\begin{array}{l}{\;}，{θ∈[{0，π}]}\end{array}}\right.}\right\}$，有兩個不同交點，直線l與曲線C圍成的平面區(qū)域為M，向區(qū)域Ω內(nèi)隨機投一點A，點A落在區(qū)域M內(nèi)有概率為P（M），若P（M）∈[$\frac{π-2}{2π}，1}$]，則實數(shù)m的取值范圍為[0，1]．

Answer 1

分析 畫出圖形，不難發(fā)現(xiàn)直線恒過定點（-2，0），結(jié)合概率范圍可知直線與圓的關(guān)系，直線以（-2，0）點為中心順時針旋轉(zhuǎn)至與x軸重合，從而確定直線的斜率范圍

解答 解：畫出圖形，發(fā)現(xiàn)直線恒過定點（-2，0），
圓是上半圓，面積為2π；
當(dāng)直線過（-2，0），（0，2）時，
它們圍成的平面區(qū)域為M，面積為π-2，向區(qū)域Ω上隨機投一點A，
點A落在區(qū)域M內(nèi)的概率為P（M），此時P（M）=$\frac{π-2}{2π}$，
當(dāng)直線與x軸重合時，P（M）=1；
直線的斜率范圍是[0，1]．
故答案為：[0，1]．

點評 本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，幾何概型，直線系，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．