【題目】如圖,四棱錐的底面四邊形ABCD為菱形,平面ABCD,,,E為BC的中點(diǎn).
求證:平面PAD;
求二面角的平面角的余弦值.
【答案】(1)詳見解析;(2)
【解析】
連結(jié)BD,證明推出然后證明平面PAD;以點(diǎn)D為原點(diǎn),DA,DE,DP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系求出平面BAD的一個(gè)法向量,平面PBA一個(gè)法向量,利用空間向量的數(shù)量積求解平面PAD與平面PBC所成角的二面角的平面角的余弦值.
連結(jié)BD,由已知得與都是正三角形.
又因?yàn)辄c(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn),所以
又因?yàn)?/span>,所以.
又平面ABCD,平面ABCD,所以
又因?yàn)?/span>,AD,平面PAD,所以平面
以點(diǎn)D為原點(diǎn),DA,DE,DP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空
間直角坐標(biāo)系.
由知平面BAD的一個(gè)法向量為
,0,,0,所以,.
設(shè)平面PBA一個(gè)法向量為,
由,得,.
取,則,故.
設(shè)與的夾角為,則
所以平面PAD與平面PBC所成角的二面角的平面角的余弦值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們國(guó)家正處于老齡化社會(huì)中,老有所依也是政府的民生工程.某市有戶籍的人口共萬,其中老人(年齡歲及以上)人數(shù)約有萬,為了了解老人們的健康狀況,政府從老人中隨機(jī)抽取人并委托醫(yī)療機(jī)構(gòu)免費(fèi)為他們進(jìn)行健康評(píng)估,健康狀況共分為不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個(gè)等級(jí),并以歲為界限分成兩個(gè)群體進(jìn)行統(tǒng)計(jì),樣本分布被制作成如下圖表:
(1)若從樣本中的不能自理的老人中采取分層抽樣的方法再抽取人進(jìn)一步了解他們的生活狀況,則兩個(gè)群體中各應(yīng)抽取多少人?
(2)估算該市歲以上長(zhǎng)者占全市戶籍人口的百分比;
(3)政府計(jì)劃為歲及以上長(zhǎng)者或生活不能自理的老人每人購買元/年的醫(yī)療保險(xiǎn),為其余老人每人購買元/年的醫(yī)療保險(xiǎn),不可重復(fù)享受,試估計(jì)政府執(zhí)行此計(jì)劃的年度預(yù)算.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】北京時(shí)間3月15日下午,谷歌圍棋人工智能與韓國(guó)棋手李世石進(jìn)行最后一輪較量, 獲得本場(chǎng)比賽勝利,最終人機(jī)大戰(zhàn)總比分定格.人機(jī)大戰(zhàn)也引發(fā)全民對(duì)圍棋的關(guān)注,某學(xué)校社團(tuán)為調(diào)查學(xué)生學(xué)習(xí)圍棋的情況,隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均學(xué)習(xí)圍棋時(shí)間的頻率分布直方圖(如圖所示),將日均學(xué)習(xí)圍棋時(shí)間不低于40分鐘的學(xué)生稱為“圍棋迷”.
(Ⅰ)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否有的把握認(rèn)為“圍棋迷”與性別有關(guān)?
非圍棋迷 | 圍棋迷 | 合計(jì) | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合計(jì) |
(Ⅱ)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率,現(xiàn)在從該地區(qū)大量學(xué)生中,采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名學(xué)生,抽取3次,記被抽取的3名淡定生中的“圍棋迷”人數(shù)為。若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求的平均值和方差.
附: ,其中.
0.05 | 0.01 | |
td style="width:124.95pt; border-top-style:solid; border-top-width:0.75pt; border-right-style:solid; border-right-width:0.75pt; border-left-style:solid; border-left-width:0.75pt; padding:3.38pt 5.03pt; vertical-align:middle"> | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù), ).
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;
(2)若曲線上的動(dòng)點(diǎn)到直線的最大距離為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C過點(diǎn)M(0,-2)、N(3,1),且圓心C在直線x+2y+1=0上.
(1)求圓C的方程;
(2)設(shè)直線ax-y+1=0與圓C交于A,B兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)a,使得過點(diǎn)P(2,0)的直線l垂直平分弦AB?若存在,求出實(shí)數(shù)a的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)某水文觀測(cè)點(diǎn)的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),得到某河流水位(單位:米)的頻率分布直方圖如下:將河流水位在以上6段的頻率作為相應(yīng)段的概率,并假設(shè)每年河流水位互不影響.
(Ⅰ)求未來三年,至多有1年河流水位的概率(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示);
(Ⅱ)該河流對(duì)沿河企業(yè)影響如下:當(dāng)時(shí),不會(huì)造成影響;當(dāng)時(shí),損失10000元;當(dāng)時(shí),損失60000元,為減少損失,現(xiàn)有三種應(yīng)對(duì)方案:
方案一:防御35米的最高水位,需要工程費(fèi)用3800元;
方案二:防御不超過31米的水位,需要工程費(fèi)用2000元;
方案三:不采用措施:試比較哪種方案較好,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在長(zhǎng)方體中,,,點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知, , .
(1)若是的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若,“”為真命題,“”為假命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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