Question

【題目】如圖，在長方體中，，，點、分別為、的中點．

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）以點A為坐標(biāo)原點，分別以AB，AD，AA1為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AC1⊥平面BDE．

（2）求出平面BDE的法向量和平面FBE的法向量，二面角F﹣BE﹣D為銳二面角，利用向量法能求出二面角的余弦值．

(1)如圖，以點A為坐標(biāo)原點，分別以AB,AD,A為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系

則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,),(1,1,),

,,

,

,

與BE是平面BDE內(nèi)兩條相交直線

平面BDE

（2）由（1）進一步可得F(0，)，

設(shè)平面BDE的法向量為，可取，

設(shè)平面FBE的法向量為，

由,可得，取x=1，可得(1,-2,)

.

由于二面角F-BE-D為銳二面角，故所求的二面角的余弦值為