已知在銳角△ABC中,a,b,c為角A,B,C所對的邊,且(b-2c)cosA=a-2acos2
B
2

(1)求角A的值;
(2)若a=
3
,則求b+c的取值范圍.
分析:(1)在銳角△ABC中,根據(jù)條件利用正弦定理可得 (sinB-2sinC)cosA=sinA(-cosB),化簡可得cosA
=
1
2
,由此可得A的值.
(2)由正弦定理可得
b
sinB
=
c
sinC
=
a
sinA
=2,可得 b=2(sinB+sinC)=2
3
sin(B+
π
6
).
再由
0<B<
π
2
0<
3
-B<
π
2
,求得B的范圍,再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得b+c的取值范圍.
解答:解:(1)在銳角△ABC中,根據(jù)(b-2c)cosA=a-2acos2
B
2
,利用正弦定理可得
(sinB-2sinC)cosA=sinA(-cosB),
化簡可得cosA=
1
2
,∴A=
π
3

(2)若a=
3
,則由正弦定理可得
b
sinB
=
c
sinC
=
a
sinA
=2,
∴b=2(sinB+sinC)=2[sinB+sin(
3
-B)]=3sinB+
3
cosB=2
3
sin(B+
π
6
).
由于
0<B<
π
2
0<
3
-B<
π
2
,求得
π
6
<B<
π
2
,∴
π
3
<B+
π
6
3

∴sin(B+
π
6
)∈(
3
2
,1],∴b+c∈(3,2
3
].
點(diǎn)評:本題主要考查正弦定理的應(yīng)用,正弦函數(shù)的定義域和值域,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知在銳角△ABC中,角A,B,C,的對邊分別為a,b,c,且tanB=
3
ac
a2+c2-b2
,
(1)求∠B;(2)求函數(shù)f(x)=sinx+2sinBcosx,(x∈[0,
π
2
])
的最小值及單調(diào)遞減區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
m
=(sinx,-1)
,
n
=(cosx,3)

(1)設(shè)函數(shù)f(x)=(
m
+
n
)•
m
,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)已知在銳角△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,
3
c=2asin(A+B)
,對于(1)中的函數(shù)f(x),求f(B+
π
8
)
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
m
=(sinx,-1),
n
=(cosx,3)

(1)當(dāng)
m
n
時,求
sinx+cosx
3sinx-2cosx
的值;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=(
m
+
n
)•
m
,求f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(3)已知在銳角△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,
3
c=2asin(A+B),對于(2)中的函數(shù)f(x),求f(B+
π
8
)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知在銳角△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且tanB=
3
ac
a2+c2-b2
,
(I)求∠B;
(II)求函數(shù)f(x)=sinx+2sinBcosx,(x∈[0,
π
2
]
)的最小值及單調(diào)遞減區(qū)間.

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