已知在銳角△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且tanB=
3
ac
a2+c2-b2
，
（I）求∠B；
（II）求函數(shù)f（x）=sinx+2sinBcosx，（x∈[0，
π
2
]）的最小值及單調(diào)遞減區(qū)間．
分析：（I）在銳角△ABC中，由tanB=
3
ac
a2+c2-b2
=
3
ac
2ac•cosB
=
3
2cosB
，求得sinB的值，即可求得B的值．
（II）利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn) 函數(shù)f（x）的解析式2sin（x+
π
3
），再根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求得它的最小值，令 2kπ+
π
2
≤x+
π
3
≤2kπ+
3π
2
，k∈z，求得x的范圍，
即可求得函數(shù)的減區(qū)間．
解答：解：（I）在銳角△ABC中，∵tanB=
3
ac
a2+c2-b2
=
3
ac
2ac•cosB
=
3
2cosB
，∴sinB=
3
2
，B=
π
3
．
（II）∵函數(shù)f（x）=sinx+2sinBcosx=sinx+
3
cosB=2sin（x+
π
3
），x∈[0，
π
2
]，∴x+
π
3
∈[
π
3
 
5π
6
]，
故當(dāng)x+
π
3
=
5π
6
時(shí)，2sin（x+
π
3
）取得最小值為 2×
1
2
=1．
令 2kπ+
π
2
≤x+
π
3
≤2kπ+
3π
2
，k∈z，求得 2kπ+
π
6
≤x≤2kπ+
7π
6
，k∈z．
故函數(shù)的減區(qū)間為[2kπ+
π
6
，2kπ+
7π
6
]，k∈z．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，兩角和差的正弦公式，正弦函數(shù)的定義域和值域及其單調(diào)性，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在銳角△ABC中，角A，B，C，的對(duì)邊分別為a，b，c，且tanB=
3
ac
a2+c2-b2
，
（1）求∠B；（2）求函數(shù)f(x)=sinx+2sinBcosx，(x∈[0，
π
2
])的最小值及單調(diào)遞減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在銳角△ABC中，a，b，c為角A，B，C所對(duì)的邊，且（b-2c）cosA=a-2acos2
B
2
．
（1）求角A的值；
（2）若a=
3
，則求b+c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinx，-1)，
n
=(cosx，3)．
（1）設(shè)函數(shù)f(x)=(
m
+
n
)•
m
，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）已知在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，
3
c=2asin(A+B)，對(duì)于（1）中的函數(shù)f（x），求f(B+
π
8
)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinx，-1)，
n
=(cosx，3)．
（1）當(dāng)
m
∥
n
時(shí)，求
sinx+cosx
3sinx-2cosx
的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=（
m
+
n
）•
m
，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）已知在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，
3
c=2asin（A+B），對(duì)于（2）中的函數(shù)f（x），求f（B+
π
8
）的取值范圍．

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