Question

【題目】已知一個遞增的等差數(shù)列{an}的前三項的和為﹣3，前三項的積為8．數(shù)列 的前n項和為 ．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式．
（2）求數(shù)列 的通項公式．
（3）是否存在一個等差數(shù)列{cn}，使得等式 對所有的正整數(shù)n都成立．若存在，求出所有滿足條件的等差數(shù)列{cn}的通項公式，并求數(shù)列{bn}的前n項和Tn；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：一個遞增的等差數(shù)列{an}的前三項的和為﹣3，前三項的積為8．

設此三項分別為：a﹣d，a，a+d，d＞0．

可得：a﹣d+a+a+d=﹣3，（a﹣d）a（a+d）=8，

解得a=﹣1，d=3．

∴an=﹣1+3（n﹣1）=3n﹣4．

（2）解：數(shù)列 的前n項和為 ．

n≥2時， =Sn﹣Sn﹣1=2n+1﹣2﹣（2n﹣2）=2n．

n=1時， =22﹣2=2，對于上式也成立．

∴ =2n．

（3）解：由（1）（2）可得：bn=（3n﹣4）2n．

假設存在一個等差數(shù)列{cn}，使得等式 對所有的正整數(shù)n都成立．

則（3n﹣4）2n= ﹣ ，

可得：2cn+1﹣cn=3n﹣4，

令cn=pn+q（p，q為常數(shù)）．

∴2[p（n+1）+q]﹣（pn+q）=3n﹣4，

化為：pn+2p+q=3n﹣4，

可得 ，解得p=3，q=﹣10．

∴cn=3n﹣10．

【解析】（1）一個遞增的等差數(shù)列{an}的前三項的和為﹣3，前三項的積為8．設此三項分別為：a﹣d，a，a+d，d＞0．可得：a﹣d+a+a+d=﹣3，（a﹣d）a（a+d）=8，聯(lián)立解得a，d，即可得出an．（2）數(shù)列 的前n項和為 ．n≥2時， =Sn﹣Sn﹣1．n=1時， =22﹣2，可得 ．（3）由（1）（2）可得：bn=（3n﹣4）2n．假設存在一個等差數(shù)列{cn}，使得等式 對所有的正整數(shù)n都成立．可得（3n﹣4）2n= ﹣ ，令cn=pn+q（p，q為常數(shù)）．代入即可得出．
【考點精析】關于本題考查的數(shù)列的通項公式，需要了解如果數(shù)列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式才能得出正確答案．