Question

【題目】已知函數(shù) ， （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并判斷是否有極值；
（Ⅱ）若對(duì)任意的x＞1，恒有l(wèi)n（x﹣1）+k+1≤kx成立，求k的取值范圍；
（Ⅲ）證明： （n∈N+ ， n≥2）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ，（x＞0）， ， 即x∈（0，1），f'（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞），f'（x）＜0，
∴f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，
在x=1處取得極大值，極大值為f（1）=1，無(wú)極小值．
（Ⅱ）方法1：∵ln（x﹣1）+k+1≤kx， ，
k≥f（x﹣1）max對(duì)任意的x＞1恒成立，由（1）知f（x）max=f（1）=1，
則有f（x﹣1）max=1，∴k≥1．
方法2：記g（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，
，
當(dāng)k≤0時(shí)，g'（x）≥0；
當(dāng)k＞0時(shí)，由g'（x）＞0得 ，
即當(dāng)k≤0時(shí)，g（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)；
當(dāng)k＞0時(shí)， 上為增函數(shù)；在 上為減函數(shù)．
∵對(duì)任意的x＞1，恒有l(wèi)n（x﹣1）+k+1≤kx成立，
即要求g（x）≤0恒成立，
∴k＞0符合，且 ，得k≥1．
（Ⅲ）證明： ，由（Ⅰ）知 ，
則 （當(dāng)且僅當(dāng)x=1取等號(hào)）．
令x=n2（n∈N* ， n≥2），即 ，則有

∴ ，
∴
【解析】（Ⅰ） ，（x＞0）， ，分別解出f'（x）＞0，f'（x）＜0，即可得出單調(diào)區(qū)間、極值；（Ⅱ）方法1：由ln（x﹣1）+k+1≤kx，分離參數(shù)可得：k≥f（x﹣1）max對(duì)任意的x＞1恒成立，由（I）即可得出． 方法2：記g（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1， ，對(duì)k分類討論研究其單調(diào)性即可得出；（Ⅲ） ，由（Ⅰ）知： （當(dāng)且僅當(dāng)x=1取等號(hào)）．令x=n2（n∈N* ， n≥2），即 ，再利用“累加求和”、“裂項(xiàng)求和”即可得出．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值即可以解答此題．