已知函數(shù)f(x)=lnx-
1
4
x+
3
4x
-1

(1)求函數(shù)f(x)在(0,2)上的最小值;
(2)設(shè)g(x)=-x2+2mx-4,若對(duì)任意x1∈(0,2),x2∈[1,2],不等式f(x1)≥g(x2)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)求導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)f(x)在(0,2)上的單調(diào)性,從而可得函數(shù)f(x)的極小值,即可求出最小值;
(2)由(1)知,f(x)min=-
1
2
對(duì)任意x1∈(0,2),x2∈[1,2],不等式f(x1)≥g(x2)恒成立,等價(jià)于-x2+2mx-4≤-
1
2
,x,∈[1,2]恒成立,利用分離參數(shù)法及基本不等式,即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解答:解:(1)求導(dǎo)函數(shù),可得f′(x)=
1
x
-
1
4
-
3
4x2
=
4x-x2-3
4x2

∵0<x<2,令f′(x)>0,可得1<x<2;令f′(x)>0,可得0<x<1
∴函數(shù)f(x)在(0,2)上的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,2),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)
∴函數(shù)f(x)在x=1處,取得極小值,且為最小值f(1)=-
1
2

(2)由(1)知,f(x)min=-
1
2

對(duì)任意x1∈(0,2),x2∈[1,2],不等式f(x1)≥g(x2)恒成立,等價(jià)于-x2+2mx-4≤-
1
2
,x,∈[1,2]恒成立.
m≤
7
4x
+
x
2
,x,∈[1,2]恒成立.
7
4x
+
x
2
≥2
7
4x
×
x
2
=
14
2
,當(dāng)且僅當(dāng)
7
4x
=
x
2
,即x=
14
2
時(shí)取等號(hào)
m≤
14
2

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,
14
2
]
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查恒成立問題,考查分離參數(shù)法的運(yùn)用,解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與最值.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

(1)若函數(shù)f(x)在P(0,f(0))的切線方程為y=5x+1,求實(shí)數(shù)a,b的值:
(2)當(dāng)a<3時(shí),令g(x)=
f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx
的圖象在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線方程為l:y=x+b
(1)求出函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式和切線l的方程;
(2)當(dāng)x∈[
1
e
,e]
時(shí)(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
12
x2+a
(a為常數(shù)),直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的圖象都相切,且l與函數(shù)f(x)的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.
(1)求直線l的方程及a的值;
(2)當(dāng)k>0時(shí),試討論方程f(1+x2)-g(x)=k的解的個(gè)數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax

(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,若過兩點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線l與x軸的交點(diǎn)在曲線y=f(x)上,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b為實(shí)數(shù),x∈R,a∈R.
(1)當(dāng)1<a<2時(shí),若f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值、最大值分別為-2、1,求a、b的值;
(2)在(1)的條件下,求經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線l的方程;
(3)試討論函數(shù)F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

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