Question

【題目】已知函數(shù)， (為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)設曲線在處的切線為，若與點的距離為，求的值；

(2)若對于任意實數(shù)， 恒成立，試確定的取值范圍；

(3)當時，函數(shù)在上是否存在極值？若存在，請求出極值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 或 (2) (3)不存在

【解析】試題分析：

(1)該問切點橫坐標已知,則利用切點在曲線上,帶入曲線即可得到切點的縱坐標,對進行求導并得到在切點處的導函數(shù)值即為切線的斜率,有切線的斜率,切線又過切點,利用直線的點斜式即可求的切線的方程,利用點到直線的距離公式結合條件點到切線的距離為即可求的參數(shù)的值.

(2)該問為恒成立問題可以考慮分離參數(shù)法,即把參數(shù)a與x進行分離得到,則,再利用函數(shù)的導函數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間的最大值,即可求的a的取值范圍.

(3)根據(jù)極值的定義,函數(shù)在區(qū)間有零點且在零點附近的符號不同,求導可得,設,求求導可以得到的導函數(shù)在區(qū)間恒為正數(shù),則函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增,即可得到函數(shù)進而得到恒成立,即在區(qū)間上沒有零點,進而函數(shù)沒有極值.

試題解析：

（1）, .

在處的切線斜率為， 1分

∴切線的方程為，即. 3分

又切線與點距離為,所以，

解之得， 或5分

（2）∵對于任意實數(shù)恒成立，

∴若，則為任意實數(shù)時， 恒成立； 6分

若 恒成立，即，在上恒成立， 7分

設則, 8分

當時， ，則在上單調(diào)遞增；

當時， ，則在上單調(diào)遞減；

所以當時， 取得最大值， ， 9分

所以的取值范圍為.

綜上，對于任意實數(shù)恒成立的實數(shù)的取值范圍為. 10分

（3）依題意, ，

所以, 2分

設,則,當,

故在上單調(diào)增函數(shù),因此在上的最小值為，

即， 12分

又所以在上， ，

即在上不存在極值. 14分