Question

已知f（x）=axe^kx-1，g（x）=lnx+kx．
（Ⅰ）求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若k≠1，f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后分k≥0和k＜0分類求解原函數(shù)的單調(diào)期間；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=axe^kx-lnx-kx-1（x＞0），求導(dǎo)后令u（x）=a•ekx-

1

x

，然后分a≤0和a＞0分析u′（x）的符號(hào)，然后求出函數(shù)h（x）的最小值，則a的范圍可求．

解答： 解：（Ⅰ）g（x）=lnx+kx，g′(x)=

1

x

+k（x＞0），
當(dāng)k≥0時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
當(dāng)k＜0時(shí)，g′(x)=

1+kx

x

，由1+kx＞0，得x＜-

1

k

．
∴當(dāng)x∈（-∞，-

1

k

）時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（-

1

k

，+∞）時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=axe^kx-lnx-kx-1（x＞0），
∴h′（x）=a•ekx+akx•ekx-

1

x

-k=a•ekx(kx+1)-

kx+1

x

=(kx+1)(a•ekx-

1

x

)．
設(shè)u（x）=a•ekx-

1

x

．
①當(dāng)a≤0時(shí)，a•ekx-

1

x

＜0，h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，h（x）＞0不恒成立；
②當(dāng)a＞0時(shí)，u′(x)=ak•ekx+

1

x2

＞0，
則u（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
u（x）的函數(shù)值由負(fù)到正，必有x₀∈（0，+∞），使u（x₀）=0．
即a•ekx0=

1

x0

，兩邊取對(duì)數(shù)得：lna+kx₀=-lnx₀．
h（x）在（0，x₀）上為減函數(shù)，在（x₀，+∞）上為增函數(shù)．
h(x)min=h(x0)=ax0ekx0-1-lnx0-kx0=1-1-lnx₀-kx₀=lna．
∴l(xiāng)na＞0，即a∈（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，參數(shù)范圍的求法，是一道綜合性較強(qiáng)的題目．