Question

⊙O₁，⊙O₂相交于A，B，⊙O₂過⊙O₁的圓心O₁點(diǎn)．
（1）如圖1，過A做⊙O₁的一條直徑AC，連接CB并延長交⊙O₂于點(diǎn)D，連接DO₁，求證：DO₁⊥AC；
（2）如圖2，過A做⊙O₁的一條非直徑的弦AC，連接CB并延長交⊙O₂于點(diǎn)D，則DO₁與AC還垂直嗎？請證明你的結(jié)論

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：立體幾何

分析：（1）連接AB，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得∠ABC為直角，根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可得∠D=∠A，進(jìn)而可證得∠DO₁C也為直角，即DO₁⊥AC；
（2）連接AO₂，并延長交圓于E，連接CD，AB，類比（1）中證法，可得DO₁與AC還垂直．

解答： 證明：（1）連接AB，如圖所示：

∵AC是⊙O₁的一條直徑，
∴∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，
又∵⊙O₂中，∠D和∠A所夾的弧均為

O1B

，故∠D=∠A，
∴∠D+∠C=90°，
∴∠DO₁C=90°，
∴DO₁⊥AC；
（2）連接AO₁，并延長交圓于E，連接BE，AB，

∵AE是⊙O₁的一條直徑，
∴∠ABE=90°，
∴∠A+∠E=90°，
又∵⊙O₂中，∠D和∠A所夾的弧均為

O1B

，故∠D=∠A，
∴∠D+∠E=90°，
又∵⊙O₁中，∠C和∠E所夾的弧均為

AB

，故∠C=∠E，
∴∠D+∠C=90°，
∴DO₁⊥AC；

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是圓周角定理，線段的垂直關(guān)系，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．