Question

設(shè)f(x)=log2(1-2x)
（1）指出f（x）的單調(diào)性，說明理由；
（2）求F（x）=4^x-2^f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=log2(1-2x)，知x∈（-∞，0），設(shè)y=lo

g

u 2

，u=1-2x，由此利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)能判斷f（x）的單調(diào)性．
（2）由f(x)=log2(1-2x)，把F（x）=4^x-2^f（x）等價轉(zhuǎn)化為F（x）=4^x-（1-2^x）（x＜0），由此利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)能求出F（x）=4^x-2^f（x）的值域．

解答：解：（1）∵f(x)=log2(1-2x)，
∴1-2^x＞0，解得x∈（-∞，0）…（2分）
設(shè)y=lo

g

u 2

，u=1-2x，
∵u=1-2^x在（-∞，0）上是減函數(shù)，y=log₂u是增函數(shù)，
∴由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，知y=lg₂（1-2^x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減．…（6分）
（2）∵f(x)=log2(1-2x)，
∴2^f（x）=2log2(1-2x)=1-2x，
∵F（x）=4^x-2^f（x），
∴F（x）=4^x-（1-2^x）（x＜0），…（8分）
令2^x=t，則t∈（0，1），
y=t²+t-1=（t+

1

2

）²-

5

4

，
∴當t=0時，y_min=（0+

1

2

）²-

5

4

=-1；
當t→1時，y_max→（1+

1

2

）²-

5

4

=1，
∴F（x）=4^x-2^f（x）的值域為[-1，1）．…（12分）

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)和值域的求法，解題時要合理地運用換元法和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)．