Question

雙曲線C與橢圓

x2

36

+

y2

27

=1有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)（4，

15

）．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若F₁，F(xiàn)₂是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C上，且∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)出雙曲線的方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，解方程即可得到雙曲線的方程；
（2）運(yùn)用余弦定理和雙曲線的定義及面積公式，即可計(jì)算得到所求面積．

解答： 解：（1）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），（3，0），
設(shè)雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

9-a2

=1，
又因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)（4，

15

），則

16

a2

-

15

9-a2

=1，
即有a⁴-40a²+144=0，
解得a²=4或a²=36（舍去）
所以雙曲線的方程為

x2

4

-

y2

5

=1；
（2）在△F₁PF₂中，由余弦定理得：
|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF1|•|PF₂|•cos60°=（|PF₁|-|PF₂|）²+|PF₁|•|PF₂|
又|F₁F₂|²=4c²=36，（|PF₁|-|PF₂|）²+|=4a²=16，
則|PF₁|•|PF₂|=20，
則S△F1PF2=

1

2

|PF₁|•|PF₂|•sin60°=

1

2

×20×

3

2

=5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查雙曲線的定義，同時(shí)考查余弦定理和面積公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．