Question

已知函數(shù)f（x）=log₃x．
（Ⅰ）若關(guān)于x的方程f（ax）•f（ax²）=f（3）的解都在區(qū)間（0，1）內(nèi)，求實(shí)數(shù)a的范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x²-2ax+3）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（ax）f（ax²）=f（3），∴l(xiāng)og₃^ax•=log₃³，
∴（log₃a+log₃x）（log₃a+2log₃x）=1，∴2（log₃x）²+3log₃a•log₃x+log₃²a-1=0．
令t=log₃x，∵0＜x＜1，∴t＜0．∴方程2t²+3log₃a•t+log₃²a-1=0的兩根為負(fù)．
∴△=（3log₃^a）²-8（log₃²a-1）≥0，，
，∴．…（7分）
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x²-2ax+3）=log₃（x²-2ax+3）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）=x²-2ax+3在[2，+∞）上大于零且單調(diào)遞增，
，∴．…（12分）
分析：（Ⅰ）由條件可得2（log₃x）²+3log₃a•log₃x+log₃²a-1=0，令t=log₃x，可得方程2t²+3log₃a•t+log₃²a-1=0的
兩根為負(fù)，由判別式大于或等于0及兩根之和小于0、兩根之積大于0，求出實(shí)數(shù)a的范圍．
（Ⅱ）由題意可得g（x）=x²-2ax+3在[2，+∞）上大于零且單調(diào)遞增，，由此求得正實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，換元過程中注意變量范圍
的改變．