Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x），g（x）滿足：

f(x)

g(x)

=a^x（a＞0，且a≠1），且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

10

3

，則實(shí)數(shù)a的值為（　　）

• A、3
• B、

  1

  3

• C、3或

  1

  3

• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)

f(x)

g(x)

=a^x，結(jié)合題中等式建立關(guān)于a的方程：a+

1

a

=

10

3

，解之得a=3或

1

3

．再根據(jù)f′（x）g（x）＜f（x）g′（x）可證出y=a^x是R上的減函數(shù)，得a∈（0，1），由此可得a=

1

3

．

解答： 解：∵

f(x)

g(x)

=a^x，∴

f(1)

g(1)

=a，

f(-1)

g(-1)

=

1

a

，
因此

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

10

3

，即a+

1

a

=

10

3

．
解之得a=3或

1

3

．
設(shè)F（x）=

f(x)

g(x)

，則F'（x）=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

，
∵f'（x）g（x）＜f（x）g'（x），
∴F'（x）＜0在R上成立，故F（x）是R上的減函數(shù)．
即y=a^x是R上的減函數(shù)，故a∈（0，1）．
∴實(shí)數(shù)a的值為

1

3

．
故選：B．

點(diǎn)評：本題給出含有指數(shù)形式的函數(shù)，求解關(guān)于字母a的方程，著重考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則等知識，屬于基礎(chǔ)題．