已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，右準(zhǔn)線為x=3
2
，離心率為
6
3
．若直線y=t（t＞o）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，以線段AB為直徑作圓M．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若圓M與x軸相切，求圓M被直線x-
3
y+1=0截得的線段長．
分析：（1）由已知條件設(shè)出橢圓方程，利用準(zhǔn)線方程和離心率求出a和c的值，結(jié)合隱含條件求出b的值，則橢圓方程可求；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程求出A，B的坐標(biāo)進(jìn)一步求出向量
OA
，
OB
的坐標(biāo)，根據(jù)圓M與x軸相切得到兩個向量的數(shù)量積等于0，代入坐標(biāo)后求出t的值，則圓心坐標(biāo)和半徑可求，利用弦心距公式求弦長．
解答：解：（1）由題意設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）．
∵
a2
c
=3
2
，
c
a
=
6
3
，∴a=2
3
，c=2
2
．
∴bb2=a2-c2=4．
則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
12
+
y2
4
=1；
（2）聯(lián)立
y=t(t＞0)
x2
12
+
y2
4
=1
，得x=±
12-3t2
．
∴A(-
12-3t2
，t)，B(
12-3t2
，t)．
則
OA
=(-
12-3t2
，t)，
OB
=(
12-3t2
，t)．
∵圓M與x軸相切，
∴
OA
•
OB
=0，即-（12-3t2）+t2=0，解得t=
3
．
∴圓M的圓心為（0，
3
），半徑為
12-3t2
=
3
．
∴圓心M到直線x-
3
y+1=0的距離為d=
|-3+1|
12+
3
2
=1．
所以圓M被直線x-
3
y+1=0截得的線段長為2
3
2-12
=2
2
．
點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了利用向量數(shù)量積判斷兩個向量的垂直關(guān)系，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，是難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C任意一點(diǎn)P到兩個焦點(diǎn)F1(-
3
，0)和F2(
3
，0)的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過（0，-2）的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，且
OA
•
OB
=0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|=2，點(diǎn)P（1，
32
）在橢圓C上．
（I）求橢圓C的方程；
（II）如圖，動直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點(diǎn)，點(diǎn)M，N是直線l上的兩點(diǎn)，且F1M⊥l，F(xiàn)2M⊥l，求四邊形F1MNF2面積S的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且過點(diǎn)P(
3
，
1
2
)，離心率是
3
2
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l過點(diǎn)E（-1，0）且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|EA|=2|EB|，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•和平區(qū)一模）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為
1
2
，它的一個頂點(diǎn)恰好是拋物線y=
3
12
x2的焦點(diǎn)．
（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）若A、B是橢圓C上關(guān)x軸對稱的任意兩點(diǎn)，設(shè)P（-4，0），連接PA交橢圓C于另一點(diǎn)E，求證：直線BE與x軸相交于定點(diǎn)M；
（III）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在（II）的條件下，過點(diǎn)M的直線交橢圓C于S、T兩點(diǎn)，求
OS
•
OT
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，它的一條準(zhǔn)線為x=-
5
2
，離心率為
2
5
5
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若
MA
=λ1
AF
， 
MB
=λ2
BF
，求λ1+λ2的值．

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