Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²+x．
（1）若f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）已知a＜0，對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上任意不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中x₂＞x₁，直線AB的斜率為k，記N（u，0），A₁（x₁，y₁），B₁（x₂，y₂），若，求證：f′（u）＜k．

Answer 1

（1）解：求導(dǎo)函數(shù)可得：（x＞0）
∵f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)，
∴
∴2ax²+x+1＞0
∴
∵x＞0，∴
∴a≥0；
（2）證明：∵A₁（x₁，y₁），B₁（x₂，y₂），∴k==
∵N（u，0），
∴x₂-x₁=λ（u-x₁）
∴
∴f′（u）=
∴f′（u）-k=
∵a＜0，x₂＞x₁，1≤λ≤2
∴≤0
∴要證f′（u）＜k，只要證＜0
即＜0
設(shè)，則=，顯然t＞1
令g（t）=，則g′（t）=
記T（t）=-t²+（λ²-2λ+2）t-（λ-1）²，對(duì)稱軸為t=
∵1≤λ≤2，
∴函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∵T（1）=0，∴，t＞1時(shí)，T（t）＜0恒成立
即-t²+（λ²-2λ+2）t-（λ-1）²＜0恒成立
∵t（t+λ-1）²＞0
∴g′（t）＜0
∴g（t）＜g（1）=0
∴f′（u）＜k．
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)，可得，進(jìn)而分離參數(shù)，即可求得a的取值范圍；
（2）先求得k==，由N（u，0），，求得，進(jìn)而可得f′（u）-k的表達(dá)式，要證f′（u）＜k，只要證＜0，利用換元，構(gòu)造新函數(shù)，即可證得．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分離參數(shù)法的運(yùn)用，考查不等式的證明，構(gòu)造函數(shù)，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．