Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=t（t為非零常數(shù)），{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n+1=3S_n．
（Ⅰ）當(dāng)t=1時(shí)，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若對(duì)任意n∈N^*，都有λ＞

n(n+1)

an

，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：計(jì)算題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）方法一：先求{S_n}的通項(xiàng)，再求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；方法二：由S_n+1=3S_n，再寫一式，兩式相減，可得{a_n}為第二項(xiàng)起的等比數(shù)列，公比為3，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）分類討論，確定數(shù)列的通項(xiàng)及單調(diào)性，求最值，根據(jù)λ＞

n(n+1)

an

，即可求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）
方法一：由S_n+1=3S_n得：數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列，公比為3，首項(xiàng)為1 …（2分）
∴Sn=1•3n-1=3n-1…（3分）
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=3n-1-3n-2=2•3n-2…（4分）
∴an=

1(n=1) 2•3n-2(n≥2)

…（5分）
方法二：∵S_n+1=3S_n，∴S_n=3S_n-1（n≥2）
以上兩式相減得：a_n+1=3a_n（n≥2），…（2分）
在S_n+1=3S_n中，取n=1得：a₁+a₂=3a₁即a₂=2a₁=2，…（3分）
∴

a2

a1

=2≠3，
∴{a_n}為第二項(xiàng)起的等比數(shù)列，公比為3    …（4分）
∴an=

1(n=1) 2•3n-2(n≥2)

…（5分）
（Ⅱ）令bn=

n(n+1)

an

由（Ⅰ）知：{a_n}為第二項(xiàng)起的等比數(shù)列，公比為3，a₂=2t，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，an=2t•3n-2，bn=

n(n+1)

2t•3n-2

…（6分）
∴bn+1-bn=

(n+1)(n+2)

2t•3n-1

-

n(n+1)

2t•3n-2

=

(n+1)(1-n)

t•3n-1

…（7分）
①若t＞0，則b_n+1-b_n＜0，即b_n+1＜b_n（n≥2），
∴數(shù)列{b_n}是從第二項(xiàng)起的遞減數(shù)列…（8分）
而b1=

2

t

，b2=

3

t

，
∴b₂＞b₁，
∴(bn)max=b2=

3

t

…（9分）
∵對(duì)任意n∈N^*，都有λ＞

n(n+1)

an

，
∴λ＞

3

t

…（10分）
②若t＜0，則b_n+1-b_n＞0，即b_n+1＞b_n（n≥2），
∴數(shù)列{b_n}是從第二項(xiàng)起的遞增數(shù)列  …（11分）
而b1=

2

t

＜0，當(dāng)n≥2時(shí)，bn=

n(n+1)

2t•3n-2

＜0，
∴b_n∈（-∞，0）…（12分）
∵對(duì)任意n∈N^*，都有λ＞

n(n+1)

an

，∴λ≥0…（13分）
綜合上面：若t＞0，則λ＞

3

t

；若t＜0，則λ≥0．  …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．