Question

等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知S₃=a

2 2

，且S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）若{a_n}又是等比數(shù)列，令b_n=

9

Sn•Sn+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）先由S₃=a

2 2

，利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求出a₂；再由S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，求出公差d，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由（1）知若{a_n}又是等比數(shù)列，則a_n=3，由此利用裂項求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵S₃=a

2 2

，∴3a2=a22，
解得a₂=0或a₂=3，
∵S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，
∴S22=S1S4，
∵S₁=a₂-d，S₂=2a₂-d，S₄=4a₂+2d，
∴(2a2-d)2=(a2-d)(4a2+2d)，
若a₂=0，則d²=-2d²，解得d=0，此時S₂=0，不合題意；
若a₂=3，則（6-d）²=（3-d）（12+2d），
解得d=0或d=2，
∴a_n=3或a_n=2n-1．
（2）由（1）知若{a_n}又是等比數(shù)列，則a_n=3，
∴S_n=3n，
∴b_n=

9

Sn•Sn+1

=

9

3n•3(n+1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和
T_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)的合理運用，注意裂項求和法的合理運用，易錯點是容易產(chǎn)生增根或容易丟解．