Question

函數(shù)y=f（x）定義在R上，對于任意實數(shù)m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且當(dāng)x＞0時，0＜f（x）＜1．
Ⅰ．求證：f（0）=1；
Ⅱ．當(dāng)x＜0時，比較f（x）與1的大小；
Ⅲ．判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
Ⅳ．如果f(3)=

1

8

，試求f（2002）的值．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題

分析：（I）由f（m+n）=f（m）•f（n），令m=1，（1）=f（1）f（0）及x＞0時，0＜f（x）＜1可求f（0）
（II）當(dāng)x＜0時，-x＞0，則0＜f（-x）＜1，而f（0）=f（x）f（-x）=1可得f(-x)=

1

f(x)

∈(0，1)，從而可得f（x）與1的大小
（III）設(shè)x₁＜x₂則x₁-x₂＜0，由II可得f（x₁-x₂）＞1，而f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）+f（x₂）可判斷函數(shù)的單調(diào)性
（IV）由f（3）=f（1）f（2）=f³（1）=

1

8

可求f（1），進而可求f（2002）

解答： 證明：（I）∵對于任意實數(shù)m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n）
令m=1，（1）=f（1）f（0）
∵x＞0時，0＜f（x）＜1
∴0＜f（1）＜1
∴f（0）=1
（II）當(dāng)x＜0時，-x＞0，則0＜f（-x）＜1
∵f（0）=f（x）f（-x）=1
∴f(-x)=

1

f(x)

∈(0，1)
∴f（x）＞1
（Ⅲ）設(shè)x₁＜x₂則x₁-x₂＜0
由II可得f（x₁-x₂）＞1
∵f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）+f（x₂）＞f（x₂）
∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞減
（IV）∵f（3）=f（1）f（2）=f³（1）=

1

8

∴f(1)=

1

2

∵f（m+n）=f（m）•f（n）對任意的m，n都成立
f（2002）=f²⁰⁰²（1）=(

1

2

)2002

點評：本題主要考查了抽象函數(shù)的函數(shù)值的求解，主要采用的賦值法，構(gòu)造x₁=x₁-x₂+x₂，是證明函數(shù)的單調(diào)性的 關(guān)鍵，屬于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用．