Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，為棱的中點(diǎn)，為棱上一點(diǎn)，．

（1）確定的位置，使得平面 平面，并說明理由；

（2）設(shè)二面角的正切值為，，為線段上一點(diǎn)，且與平面所成角的正弦值為，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）為棱的中點(diǎn)；（2）或.

【解析】分析：（1）由四邊形為平行四邊形，得，進(jìn)而得，即可利用面面垂直的判定定理，證得平面平面；

（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，利用法向量和向量所成解角，即可求解實(shí)數(shù)的值．

詳解：（1）為棱的中點(diǎn)．　

證明如下：

∵四邊形為平行四邊形，∴為的中點(diǎn)，∴．

∵ ，∴四邊形為平行四邊形，則．

又，∴平面平面．

（2）過作于，連接，則即為二面角的平面角．

∵，，∴．

又，，∴．　

以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，

則，，設(shè)平面的法向量，

則，即，令，得，

設(shè)，∵，∴ ，

∴與平面所成角的正弦值為，

∴，∴或，

又，∴或．