Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，an=

2n

n-1

an-1+n(n≥2，n∈N*)，且bn=

an

n

+λ，{b_n}為等比數(shù)列．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)λ及數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，求S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，an=

2an

n-1

an-1+n，

an

n

=2

an-1

n-1

+1，故λ=1，b_n=2b_n-1，由此能求出實(shí)數(shù)λ及數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ-（1+2+3+…+n），令T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，由錯(cuò)位相減法能求出S_n．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)an=

2an

n-1

an-1+n，
∴

an

n

=2

an-1

n-1

+1，
即

an

n

+1=2(

an-1

n-1

+1)
∴λ=1
∴b_n=2b_n-1
而b1=

a1

1

+1=2≠0
∴b_n=2×2^n-1=2ⁿ
∴a_n=n.2ⁿ-n．
（Ⅱ）S_n=1×2+2×2²+3×2³++n×2ⁿ-（1+2+3++n）
令T_n=1×2+2×2²+3×2³++n×2ⁿ，
則2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴++n×2ⁿ⁺¹兩式相減得-Tn=2+22++2n-n.2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n.2n+1
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2∴Sn=(n-1)2n+1-

n2+n-4

2

點(diǎn)評(píng)：第（Ⅰ）題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化；第（Ⅱ）題考查數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．