Question

已知向量

m

=（2cosx+2

3

sinx，1），向量

n

=（cosx，-y），x，y∈R．
（1）若

m

∥

n

，且y=1，求tan（x+

π

6

）的值；
（2）若

m

⊥

n

，設(shè)y=f（x），求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點：平面向量共線（平行）的坐標表示,數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系,三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應用

分析：（1）利用向量共線的坐標表示列式求得tanx=-

3

2

．然后利用兩角和的正切公式展開求值；
（2）由向量垂直的坐標表示列式得到函數(shù)y=f（x）的解析式，然后利用復合函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答： 解：（1）

m

=（2cosx+2

3

sinx，1），

n

=（cosx，-y），
∵

m

∥

n

，且y=1，
∴2cosx+2

3

sinx=-cosx，
即tanx=-

3

2

．
∴tan（x+

π

6

）=

tanx+tan π 6

1-tanx•tan π 6

=

- 3 2 + 3 3

1-(- 3 2 )× 3 3

=-

3

9

；
（2）∵

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=0，得2cos2x+2

3

sinxcosx-y=0，
即y=f(x)=1+cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)+1．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．

點評：平行問題及垂直問題是一個重要的知識點，在高考題中常常出現(xiàn)，常與向量的模、向量的坐標表示等聯(lián)系在一起，要特別注意垂直與平行的區(qū)別．若

a

=（a₁，a₂），

b

=（b₁，b₂），則

a

⊥

b

?a₁a₂+b₁b₂=0，

a

∥

b

?a₁b₂-a₂b₁=0．是基礎(chǔ)題．