Question

有一道題目由于紙張破損，有一條件看不清楚，具體如下：
在△ABC中，已知a=

3

，

c=

6 + 2

2

，2cos²（

A+C

2

）=（

2

-1）cosB，求角A．
經(jīng)推斷，破損處的條件為三角形一邊的長度，該題的答案A=60°是唯一確定的，試將條件補(bǔ)充完整，并說明理由．

Answer 1

分析：根據(jù)二倍角三角函數(shù)公式結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡整理，得cosB=

2

2

，所以B=45°．再分已知邊b或已知邊c兩種情況加以討論，結(jié)合三角形中大邊對大角，可得只有已知c=

6 + 2

2

時(shí)A=60°，是唯一確定的解．

解答：解：∵2cos²（

A+C

2

）=（

2

-1）cosB，
∴1+cos（A+C）=（

2

-1）cosB，
即1-cosB=（

2

-1）cosB，整理得cosB=

2

2

又∵0°＜B＜180°，∴B=45°．-------------4分
接下來分兩種情況討論
（1）

b

sin450

=

3

sin600

⇒b=

2

，-------6分
檢驗(yàn)：

b

sinB

=

a

sinA

?

2

sin450

=

3

sinA

?sinA=

3

2

，
又因?yàn)锳∈（0，π），且a＞b，所以A=60° 或者A=120°，這與已知角A的解為唯一解矛盾．----8分
（2）B=45°，結(jié)合A=60°，得C=75°------------9分

c

sin750

=

3

sin600

⇒c=

6 + 2

2

----------------11分
檢驗(yàn)：

c

sinC

=

a

sinA

?

6 + 2 2

sin750

=

3

sinA

?sinA=

3

2

，
又∵A∈（0，π），且c＞a，
∴A=60°，且此解是唯一解，符合題意--13分
綜上所述，得破損處應(yīng)該填上：c=

6 + 2

2

，能使角A有唯一解A=60°--14分

點(diǎn)評：本題給出三角形一邊和一角，探索三角形有唯一解的問題，著重考查了運(yùn)用正、余弦定理解三角形和三角恒等變換等知識，屬于中檔題．