已知橢圓 的離心率為
,過
的左焦點
的直線
被圓
截得的弦長為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)的右焦點為
,在圓
上是否存在點
,滿足
,若存在,指出有幾個這樣的點(不必求出點的坐標(biāo));若不存在,說明理由.
(1);(2)存在.
解析試題分析:本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì),點到直線的距離公式、垂徑定理、兩圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問,利用橢圓的左焦點坐標(biāo)、離心率聯(lián)立得到橢圓的基本量a,b,c,從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;第二問,先利用點到直線
的距離公式計算出點到直線的距離,再利用垂徑定理求出圓
的半徑,從而得到圓
的具體方程,假設(shè)圓
上存在點P滿足條件,利用兩點間距離公式列出方程,經(jīng)整理得到一個新的圓,利用2個圓心的距離和半徑的關(guān)系判斷出2個圓相交,所以說明存在兩個不同的點P.
試題解析:因為直線的方程為
,
令,得
,即
1分
∴ ,又∵
,∴
,
∴ 橢圓的方程為
. 4分
(2)存在點P,滿足
∵ 圓心到直線
的距離為
,
又直線被圓
截得的弦長為
,
∴由垂徑定理得,
故圓的方程為
. 8分
設(shè)圓上存在點
,滿足
即
,
且的坐標(biāo)為
,
則,
整理得,它表示圓心在
,半徑是
的圓。
∴ 12分
故有,即圓
與圓
相交,有兩個公共點。
∴圓上存在兩個不同點
,滿足
. 14分
考點:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì),點到直線的距離公式、垂徑定理、兩圓的位置關(guān)系.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓 的離心率為
,且過點
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)四邊形ABCD的頂點在橢圓上,且對角線AC、BD過原點O,若 .
(i)求 的最值:
(i i)求證:四邊形ABCD的面積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C的對稱中心為原點O,焦點在x軸上,左右焦點分別為和
,且|
|=2,
點(1,)在該橢圓上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過的直線
與橢圓C相交于A,B兩點,若
A
B的面積為
,求以
為圓心且與直線
相切圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C:和直線L:
="1," 橢圓的離心率
,坐標(biāo)原點到直線L的距離為
。
(1)求橢圓的方程;
(2)已知定點,若直線
與橢圓C相交于M、N兩點,試判斷是否存在
值,使以MN為直徑的圓過定點E?若存在求出這個
值,若不存在說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知點A(-1,0),B(1,-1)和拋物線.,O為坐標(biāo)原點,過點A的動直線l交拋物線C于M、P,直線MB交拋物線C于另一點Q,如圖.
(1)證明: 為定值;
(2)若△POM的面積為,求向量
與
的夾角;
(3)證明直線PQ恒過一個定點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線的方程為,直線l過定點
,斜率為k.當(dāng)k為何值時,直線l與該拋物線:只有一個公共點;有兩個公共點;沒有公共點?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知定點A(1,0),B (2,0) .動點M滿足,
(1)求點M的軌跡C;
(2)若過點B的直線l(斜率不等于零)與(1)中的軌跡C交于不同的兩點E、F
(E在B、F之間),試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線C:的焦點為F,直線y=4與y軸的交點為P,與C的交點為Q,且
.
(1)求拋物線C的方程;
(2)過F的直線l與C相交于A,B兩點,若AB的垂直平分線與C相交于M,N兩點,且A,M,B,N四點在同一個圓上,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
在下列命題中:
①方程|x|+|y|=1表示的曲線所圍成區(qū)域面積為2;
②與兩坐標(biāo)軸距離相等的點的軌跡方程為y=±x;[來源:Z,xx,k.Com]
③與兩定點(-1,0)、(1,0)距離之和等于1的點的軌跡為橢圓;
④與兩定點(-1,0)、(1,0)距離之差的絕對值等于1的點的軌跡為雙曲線.
正確的命題的序號是________.(注:把你認(rèn)為正確的命題序號都填上)
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