【題目】如圖，某商業(yè)中心O有通往正東方向和北偏東30方向的兩條街道，某公園P位于商業(yè)中心北偏東角（），且與商業(yè)中心O的距離為公里處，現(xiàn)要經(jīng)過公園P修一條直路分別與兩條街道交匯于A，B兩處。

（1）當(dāng)AB沿正北方向時，試求商業(yè)中心到A，B兩處的距離和；

（2）若要使商業(yè)中心O到A，B兩處的距離和最短，請確定A，B的最佳位置。

【答案】（1）13.5km．（2）商業(yè)中心到A、B兩處的距離和最短為9km，此時OA=6km，OB=3km

【解析】

試題分析：（1）建立直角坐標(biāo)系表示圖中各量關(guān)系是解題關(guān)鍵：，OB=2OA=9，商業(yè)中心到A、B兩處的距離和為13.5km．（2）當(dāng)AB與軸不垂直時，設(shè)AB：，則,又直線OB的方程為，所以，，從而，其中，或．利用導(dǎo)數(shù)可得當(dāng)時，有極小值也是最小值為9km；此時OA=6km，OB=3km，

試題解析：

（1）以O(shè)為原點，OA所在直線為軸建立坐標(biāo)系．設(shè)，

∵，∴，，

則，， 4分

依題意，AB⊥OA，則OA=，OB=2OA=9，商業(yè)中心到A、B兩處的距離和為13.5km． 7分

（2）

方法1：當(dāng)AB與軸不垂直時，設(shè)AB：，①

令，得；由題意，直線OB的方程為，②

解①②聯(lián)立的方程組，得，∴，

∴，由，，得，或． 11分

，令，得，

當(dāng)時，，是減函數(shù)；當(dāng)時，，是增函數(shù)，

∴當(dāng)時，有極小值為9km；當(dāng)時，，是減函數(shù)，結(jié)合（1）知km．

綜上所述，商業(yè)中心到A、B兩處的距離和最短為9km，此時OA=6km，OB=3km，

方法2：如圖，過P作PM//OA交OB于M，PN//OB交OA于N，設(shè)∠BAO=，

△OPN中，得PN=1，ON=4=PM，

△PNA中∠NPA=120°-∴得

同理在△PMB中，，得，

， 13分

當(dāng)且僅當(dāng)即即時取等號．

方法3：若設(shè)點，則AB：，得，

∴， 13分

當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號．

方法4：設(shè)，AB：，得，

， 13分

當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號．

答：A選地址離商業(yè)中心6km，B離商業(yè)中心3km為最佳位置． 15分

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知命題p：x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命題q：x0∈R，使得x02+（a﹣1）x0﹣1＜0，若p∨q為真，p∧q為假，求實數(shù)a的取值范圍．

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學(xué)生

在職人員

退休人員

滿意

78

不滿意

5

12

若在所調(diào)查人員中隨機(jī)抽取1人，恰好抽到學(xué)生的概率為0.32．
（1）求滿意學(xué)生的人數(shù)；
（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法在所調(diào)查的人員中抽取25人，則在職人員應(yīng)抽取多少人？
（3）若滿意的在職人員為77，則從問卷調(diào)查中填寫不滿意的“學(xué)生和在職人員”中選出2人進(jìn)行訪談，求這2人中包含了兩類人員的概率．

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【題目】某中學(xué)團(tuán)委組織了“弘揚奧運精神，愛我中華”的知識競賽，從參加考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績（均為整數(shù)）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100〕后畫出如圖所示的頻率分布直方圖．觀察圖形給出的信息，回答下列問題：

（1）求第四小組的頻率，并補(bǔ)全這個頻率分布直方圖；
（2）估計這次考試的及格率（60分及以上為及格）和平均分．

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【題目】已知函數(shù)。

（1）若f（x）的圖象與g（x）的圖象所在兩條曲線的一個公共點在y軸上，且在該點處兩條曲線的切線互相垂直，求b和c的值。

（2）若a＝c＝1，b＝0，試比較f（x）與g（x）的大小，并說明理由；

（3）若b＝c＝0，證明：對任意給定的正數(shù)a，總存在正數(shù)m，使得當(dāng)x時，

恒有f（x）＞g（x）成立。

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【題目】

如圖，⊙O內(nèi)切于△ABC的邊于D，E，F(xiàn)，AB=AC，連接AD交⊙O于點H，直線HF交BC的延長線于點G.

（Ⅰ）求證：圓心O在直線AD上；

（Ⅱ）求證：點C是線段GD的中點.

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（Ⅱ）為方便開課，學(xué)校要求， ，計算的概率.

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