【題目】已知橢圓： 過點， ， 分別是橢圓的左、右焦點，以原點為圓心，橢圓的短軸長為直徑的圓與直線相切.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點的直線交橢圓于， ，求內(nèi)切圓面積的最大值和此時直線的方程.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ），直線l的方程為，

【解析】試題分析：（1）由條件可設(shè)處圓的方程，根據(jù)直線和圓相切得到，再根據(jù)點在橢圓上得到橢圓方程；（2）由，故求△面積的最大值即可，聯(lián)立直線和橢圓方程，得到二次方程，根據(jù)弦長公式和點線距得到，分析單調(diào)性可求出最值。

解析：

（Ⅰ）以原點為圓心，橢圓的短軸長為直徑的圓的方程為，

由題意， ，所以．

∵點在橢圓上，∴，解得，

∴橢圓C的方程為．

（Ⅱ）由，

根據(jù)橢圓定義， ，所以，

于是求△內(nèi)切圓面積的最大值即為求△面積的最大值．

設(shè)直線l的方程為， ， ，則

消去得，所以， ．

因為，點到直線的距離為，

所以△的面積為 ．

令 ，則．

∵在上單調(diào)遞增，∴當時， 取得最大值為3，

此時，直線l的方程為，

內(nèi)切圓的半徑為，所以內(nèi)切圓面積的最大值為．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，，動點滿足，其中分別表示直線的斜率，為常數(shù)，當時，點的軌跡為；當時，點的軌跡為．

（1）求的方程；

（2）過點的直線與曲線順次交于四點，且，，是否存在這樣的直線，使得成等差數(shù)列？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某協(xié)會對，兩家服務(wù)機構(gòu)進行滿意度調(diào)查，在，兩家服務(wù)機構(gòu)提供過服務(wù)的市民中隨機抽取了人，每人分別對這兩家服務(wù)機構(gòu)進行獨立評分，滿分均為分.整理評分數(shù)據(jù)，將分數(shù)以為組距分成組：，，，，，，得到服務(wù)機構(gòu)分數(shù)的頻數(shù)分布表，服務(wù)機構(gòu)分數(shù)的頻率分布直方圖：

定義市民對服務(wù)機構(gòu)評價的“滿意度指數(shù)”如下：

分數(shù)

滿意度指數(shù)

0

1

2

（1）在抽樣的人中，求對服務(wù)機構(gòu)評價“滿意度指數(shù)”為的人數(shù)；

（2）從在，兩家服務(wù)機構(gòu)都提供過服務(wù)的市民中隨機抽取人進行調(diào)查，試估計對服務(wù)機構(gòu)評價的“滿意度指數(shù)”比對服務(wù)機構(gòu)評價的“滿意度指數(shù)”高的概率；

（3）如果從，服務(wù)機構(gòu)中選擇一家服務(wù)機構(gòu)，以滿意度出發(fā)，你會選擇哪一家？說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，前項和為，且.

（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）設(shè)，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.

（1）求的值；

（2）如果當，且時， ，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}的首項a1＝1，an＋1＝ (n∈N*)．

(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】年底某購物網(wǎng)站為了解會員對售后服務(wù)（包括退貨、換貨、維修等）的滿意度，從年下半年的會員中隨機調(diào)查了個會員，得到會員對售后服務(wù)的滿意度評分如下：

根據(jù)會員滿意度評分，將會員的滿意度從低到高分為三個等級：

滿意度評分

低于分

分到分

不低于分

滿意度等級

不滿意

比較滿意

非常滿意

（1）根據(jù)這個會員的評分，估算該購物網(wǎng)站會員對售后服務(wù)比較滿意和非常滿意的頻率；

（2）以（1）中的頻率作為概率，假設(shè)每個會員的評價結(jié)果相互獨立.

（i）若從下半年的所有會員中隨機選取個會員，求恰好一個評分比較滿意，另一個評分非常滿意的概率；

（ii）若從下半年的所有會員中隨機選取個會員，記評分非常滿意的會員的個數(shù)為，求的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的右頂點與拋物線的焦點重合，橢圓的離心率為，過橢圓的右焦點且垂直于軸的直線截拋物線所得的弦長為.

（1）求橢圓和拋物線的方程；

（2）過點的直線與交于兩點，點關(guān)于軸的對稱點為，證明：直線恒過一定點.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性.

（Ⅱ）是否存在實數(shù)，使對任意恒成立？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由.

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