設(shè)不等式組 
x+y>0
x-y<0 
表示的平面區(qū)域?yàn)镈.區(qū)域D內(nèi)的動點(diǎn)P到直線x+y=0和直線x-y=0的距離之積為2.記點(diǎn)P的軌跡為曲線C.過點(diǎn)F(2
2
,0)
的直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn).若以線段AB為直徑的圓與y軸相切,求直線l的斜率.
分析:由題意可知,設(shè)動點(diǎn)為P(x,y),則|x2-y2|=4.由P∈D,知x2-y2<0.所以曲線C的方程為
y2
4
-
x2
4
=1(y>0)
.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),以AB為直徑的圓心Q(
x1+x2
2
,
y1+y2
2
)
.以AB為直徑的圓L與y軸相切,所以半徑|AB|=x1+x2. 設(shè)直線AB的方程為y=k(x-2
2
).代入雙曲線方程
y2
4
-
x2
4
=1(y>0)得,k2(x-2
2
2-x2=4,由此能求出直線l的斜率.
解答:解:由題意可知,平面區(qū)域D如圖陰影所示.
設(shè)動點(diǎn)為P(x,y),
|x+y|
2
|x-y|
2
=2
,
即|x2-y2|=4.(2分)
由P∈D知x+y>0,x-y<0,
即x2-y2<0.
所以y2-x2=4(y>0),
即曲線C的方程為
y2
4
-
x2
4
=1(y>0)
(4分)
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
以AB為直徑的圓心Q(
x1+x2
2
y1+y2
2
)

以AB為直徑的圓L與y軸相切,
所以半徑 r=
1
2
|AB|=
x1+x2
2
,
即|AB|=x1+x2. ①(6分)
因?yàn)橹本AB過點(diǎn)F(2
2
,0),
當(dāng)AB⊥x軸時(shí),不合題意.(8分)
所以設(shè)直線AB的方程為y=k(x-2
2
).
代入雙曲線方程
y2
4
-
x2
4
=1(y>0),
得k2(x-2
2
2-x2=4,
即(k2-1)x2-4
2
k2x+(8k2-4)=0.
因?yàn)橹本與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),
所以k≠±1.(10分)
所以x1+x2=
4
2
k2
k2-1
,x1x2=
8k2-4
k2-1

所以|AB|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2

=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=|x1+x2|
=|
4
2
k2
k2-1
|,
化簡得:k4+2k2-1=0,(12分)
解得k2=
2
-1(k2=-
2
-1不合題意,舍去).
由△=(4
2
k22-4(k2-1)(8k2-4)=3k2-1>0,
又由于y>0,所以-1<k<-
3
3

所以k=-
2
-1
.(14分)
點(diǎn)評:本題考查直線斜率的求法,考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.對數(shù)學(xué)思維的要求比較高,有一定的探索性.綜合性強(qiáng),難度大,是高考的重點(diǎn).解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
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設(shè)不等式組
x+y-11≥0
3x-y+3≥0
5x-3y+9≤0
,表示的平面區(qū)域?yàn)镈,若指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn),則a的取值范圍是
1<a≤3
1<a≤3

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x-y+5≥0
x+y≥a
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4
4

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x+y≤4
y-x≥0
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x≤2
y≥0
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