Question

已知球的直徑為10cm，求它的內(nèi)接圓錐體積的最大值，并求出此時(shí)圓錐的底面半徑和高．

Answer 1

分析：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，利用球心與截面圓心距，截面圓的半徑球的半徑滿足的勾股定理，推出關(guān)系式，求出圓錐的體積表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值．

解答：解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則（h-5）²+r²=5²
∴r²=10h-h²（2分）
V_錐=

1

3

πr2h=

π

3

h(10h-h2)=

π

3

(10h2-h3)    （5分）
V′=

π

3

(20h-3h2)，令V′=0，
h=

20

3

，（7分）
h∈(0，

20

3

)，V′(h)＞0；h∈(

20

3

，10)，V′(h)＜0
V（h）在（0，

20

3

）上是增函數(shù)，在（

20

3

，10）是奇函數(shù)，
當(dāng)h=

20

3

時(shí)，V（h）最大（9分）
Vmax=

4000π

81

，（11分）
此時(shí)h=

20

3

，r=

10 2

3

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力，導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最大值的方法．