【題目】已知橢圓過點(diǎn)，且焦距為4

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）設(shè)為直線上一點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn).以為直徑的圓恒過坐標(biāo)原點(diǎn).

(i)求的取值范圍

(ii)是否存在圓心在原點(diǎn)的定圓恒與直線相切？若存在，求出該定圓的方程；若不存在，說明理由.

【答案】（1）（2）(i)(ii)存在；定圓的方程

【解析】

（1）將點(diǎn)代入橢圓方程，結(jié)合關(guān)系，即可求解；

（2）(i)設(shè)，由已知有，可得代入橢圓方程，將用表示，進(jìn)而求出關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)特征求出最值；

(ii)將問題轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)到直線的距離是否為定值，先求出直線方程，求出坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離，利用(i)中關(guān)系將用表示，整理即可得出結(jié)論.

（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程得，

解得，

所以橢圓C的方程為

（2）設(shè).

因?yàn)橐?/span>為直徑的圓恒過點(diǎn)，

所以，即

因?yàn)?/span>點(diǎn)在橢圓上，所以；

(i)將代入橢圓，得

于是

因?yàn)?/span>

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).

所以的取值范圍為

(ii)存在.定圓的方程為.

假設(shè)存在滿足題意的定圓，則點(diǎn)到直線的距離為定值.

因?yàn)?/span>，所以直線方程為

，

整理可得

所以到直線的距離

由(i)知，，得.

，

注意到，知

所以

又

，

所以，

因此，直線與圓恒相切.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】食品安全問題越來越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用對(duì)人民群眾的健康帶來一定的危害，為了給消費(fèi)者帶來放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入200萬元，搭建了甲、乙兩個(gè)無公害蔬菜大棚，每個(gè)大棚至少要投入20萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入種黃瓜的年收入與投入（單位：萬元）滿足.設(shè)甲大棚的投入為（單位：萬元），每年兩個(gè)大棚的總收益為（單位：萬元）

（1）求的值；

（2）試問如何安排甲、乙兩個(gè)大棚的投入，才能使總收益最大？

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【題目】為認(rèn)真貫徹落實(shí)黨中央國務(wù)院決策部署，堅(jiān)持“房子是用來住的，不是用來炒的”定位，堅(jiān)持調(diào)控政策的連續(xù)性和穩(wěn)定性，進(jìn)一步穩(wěn)定某省市商品住房市場，該市人民政府辦公廳出臺(tái)了相關(guān)文件來控制房價(jià)，并取得了一定效果，下表是2019年2月至6月以來該市某城區(qū)的房價(jià)均值數(shù)據(jù)：

（月份）

2

3

4

5

6

（房價(jià)均價(jià)：千元/平方米）

9.80

9.70

9.30

9.20

已知：．

（1）若變量、具有線性相關(guān)關(guān)系，求房價(jià)均價(jià)（千元/平方米）關(guān)于月份的線性回歸方程；

（2）根據(jù)線性回歸方程預(yù)測(cè)該市某城區(qū)7月份的房價(jià)．

（參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)公式）

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【題目】如圖，在直角中，，通過以直線為軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到（）.點(diǎn)為斜邊上一點(diǎn).點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且.

（1）證明：平面；

（2）當(dāng)直線與平面所成的角取最大值時(shí)，求二面角的正弦值.

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【題目】關(guān)于函數(shù)，，下列說法正確的是（ ）

A.當(dāng)時(shí)，在處的切線方程為

B.當(dāng)時(shí)，存在唯一極小值點(diǎn)，且

C.對(duì)任意，在上均存在零點(diǎn)

D.存在，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)

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【題目】水是生命之源，為了引導(dǎo)市民科學(xué)用水，我國加快階梯水價(jià)推行，原則是“�；�、建機(jī)制、促節(jié)約”，其中“�；�”是指保證至少80%的居民用戶用水價(jià)格不變，“建機(jī)制”是制定合理的階梯用水價(jià)格某城市采用簡單隨機(jī)抽樣的方法從郊區(qū)和城區(qū)分別抽取5戶和20戶居民的年人均用水量（單位：噸）進(jìn)行調(diào)研，抽取數(shù)據(jù)的莖葉圖如下：

（1）若在郊區(qū)的這5戶居民中隨機(jī)抽取2戶，求“被抽取的2戶年人均用水量的和超過60噸”的概率；

（2）若該城市郊區(qū)和城區(qū)的居民戶數(shù)比為1：5，現(xiàn)將年人均用水量不超過30噸的用戶定義為第一階梯用戶，只保證這一梯次的居民用戶用水價(jià)格不變，試根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想分析此方案是否符合國家“�；�”政策．

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（1）求第七組的頻率；

（2）估計(jì)該校名男生的身高的中位數(shù)以及身高在cm以上（含cm）的人數(shù)；

（3）若從樣本中身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，求抽出的兩名男生在同一組的概率.

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（1）求橢圓的方程；

（2）若，求m的值．

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