Question

已知橢圓的右準(zhǔn)線，離心率，，是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，（其中為常數(shù)）．

（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)且直線與斜率均存在時(shí)，求的最小值；

（3）若是線段的中點(diǎn)，且，問是否存在常數(shù)和平面內(nèi)兩定點(diǎn)，，使得動(dòng)點(diǎn)滿足，若存在,求出的值和定點(diǎn)，;若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

 

Answer 1

（1）;（2）;（3）,

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意由已知可得：，進(jìn)而求出基本量，得到橢圓方程; ;（2）由題中，可得中點(diǎn)與原點(diǎn)的斜率即為,即可化簡(jiǎn)得：，結(jié)合基本不等式求最值，即由得;（3）由（2）中已求出，即，可化簡(jiǎn)得：，再結(jié)合條件，代入化簡(jiǎn)可得： ，最后由點(diǎn)在橢圓上可得： ，即，化簡(jiǎn)即P點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，利用橢圓知識(shí)求出左、右焦點(diǎn)為．

（I）由題設(shè)可知：∴．又，∴．

橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為． 5分

（2）設(shè)則由得．

∴ ．

由得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào) 10分

（3）．

∴．∴． 11分

設(shè)，則由得 ，

即 y2. 因?yàn)辄c(diǎn)A、B在橢圓上，

所以 ．

所以. 即，所以P點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，

設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，則由橢圓的定義得18，, 16分

考點(diǎn)：1.橢圓的基本量計(jì)算;2.直線與橢圓的位置關(guān)系;3.函數(shù)的最值