Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的中心是O，左，右頂點分別是A，B，點A到右焦點的距離為3，離心率為

1

2

，P是橢圓上與A，B不重合的任意一點．
（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)Q（0，-m）（m＞0）是y軸上定點，若當(dāng)P點在橢圓上運動時PQ最大值是

5

，求m的值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用點A到右焦點的距離為3，離心率為

1

2

，求出a，c，可得b，即可求橢圓方程；
（2）求出PQ²=x₀²+（y₀+m）²=-

1

3

（y₀-3m）²+4m²+4，分類討論，利用PQ最大值是

5

，求m的值．

解答： 解：（1）由題意得

a+c=3 c a = 1 2

，解得 

a=2 c=1

所以，所求方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（2）PQ²=x₀²+（y₀+m）²=-

1

3

（y₀-3m）²+4m²+4，…（6分）
①當(dāng)0＜m≤

3

3

時，PQ_max=2

m2+1

，令2

m2+1

=

5

，得m=

1

2

；…（8分）
②當(dāng)m＞

3

3

時，PQ_max=m+

3

，令m+

3

=

5

，得m=

5

-

3

（舍去）；…（10分）
所以m的值是

1

2

．…（11分）

點評：本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．