Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，且AC=BC=CC₁=2，M是AB₁，A₁B的交點，N是B₁C₁的中點．
（Ⅰ）求證：MN⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求平面AA₁B與平面A₁BC夾角的大�。�

Answer 1

（Ⅰ）證明：以C為原點，分別以CB、CC₁、CA為x、y、z軸建立坐標(biāo)系，則由AC=BC=CC₁=2，知A₁（0，2，2），B₁（2，2，0），B（2，0，0），C₁（0，2，0），∴M（1，1，1），N（1，2，0），
∴=（2．-2，-2），=（2，0，0），=（0，1，-1），…（3分）
∴，，
∴MN⊥A₁B，MN⊥CB，∴MN⊥平面A₁BC； …（6分）
（Ⅱ）作CH⊥AB于H點，∵平面ABC⊥平面ABB₁A₁，∴CH⊥平面A₁BA，
故平面A₁BA的一個法向量為，
而平面A₁BC的一個法向量為，…（9分）
∴cos=||=
∵，
∴平面AA₁B與平面A₁BC夾角的大小為．…（12分）
分析：（Ⅰ）以C為原點，分別以CB、CC₁、CA為x、y、z軸建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點與向量、、，可得MN⊥A₁B，MN⊥CB，從而可得MN⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）作CH⊥AB于H點，則平面A₁BA的一個法向量為，平面A₁BC的一個法向量為，利用向量的夾角公式，即可求得平面AA₁B與平面A₁BC夾角．
點評：本題考查線面垂直，考查面面角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，正確求出平面的法向量是關(guān)鍵．