【題目】已知函數(shù)，且.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，求證：函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).

【答案】（1）見解析;（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）通過(guò)導(dǎo)函數(shù)當(dāng)和時(shí)的正負(fù)來(lái)確定原函數(shù)的增減區(qū)間；

(2) 通過(guò)證明函數(shù)單調(diào)并且猜出函數(shù)的一個(gè)根，從而證明函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).

試題解析：

（1），，

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，由得，由得，

即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

（2）證明：由已知得，則，

設(shè)，則 ，

故為上的增函數(shù)，

又由于，因此且有唯一零點(diǎn)1，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).

點(diǎn)晴:本題主要考查導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)中的應(yīng)用. 解答此類問(wèn)題，應(yīng)該首先確定函數(shù)的定義域，否則，寫出的單調(diào)區(qū)間易出錯(cuò). 解決含參數(shù)問(wèn)題及不等式問(wèn)題注意兩個(gè)轉(zhuǎn)化：(1)利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含參不等式的求解問(wèn)題，要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．(2)函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)通常是證明函數(shù)單調(diào)并且猜出函數(shù)的一個(gè)根，從而證明函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此做了四次試驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：

零件的個(gè)數(shù)x/個(gè)

2

3

4

5

加工的時(shí)間y/h

2.5

3

4

4.5

(1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；

(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并在坐標(biāo)系中畫出回歸直線；

(3)試預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要多少時(shí)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（）．

（1）判斷函數(shù)在和的單調(diào)性，并用定義證明在上的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)是定義域?yàn)?/span>的偶函數(shù)，且時(shí)， ，

①當(dāng)時(shí)，寫出的表達(dá)式；

②若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，寫出的取值范圍（不需要說(shuō)明理由）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分別是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中點(diǎn).求證：

(1)直線BC1∥平面EFPQ.

(2)直線AC1⊥平面PQMN.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某企業(yè)通過(guò)調(diào)查問(wèn)卷（滿分50分）的形式對(duì)本企業(yè)900名員工的工作滿意度進(jìn)行調(diào)查，并隨機(jī)抽取了其中30名員工（其中16名女員工，14名男員工）的得分，如下表：

女

47 36 32 48 34 44 43 47 46 41 43 42 50 43 35 49

男

37 35 34 43 46 36 38 40 39 32 48 33 40 34

（Ⅰ）現(xiàn)求得這30名員工的平均得分為40.5分，若規(guī)定大于平均得分為“滿意”，否則為“不滿意”，請(qǐng)完成下列表格：

“滿意”的人數(shù)

“不滿意”的人數(shù)

合計(jì)

女

16

男

14

合計(jì)

30

（Ⅱ）根據(jù)上述表中數(shù)據(jù)，利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法判斷，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的前提下，認(rèn)為該企業(yè)員工“性別”與“工作是否滿意”有關(guān)？

參考數(shù)據(jù)：

0.10

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

參考公式：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】.如圖，在三棱錐V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA=VB，AD=BD，則下列結(jié)論中不一定成立的是　(　　)

A. AC=BC

B. VC⊥VD

C. AB⊥VC

D. S△VCD·AB=S△ABC·VO

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓： 過(guò)橢圓： ()的短軸端點(diǎn)， ， 分別是圓與橢圓上任意兩點(diǎn)，且線段長(zhǎng)度的最大值為3．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作圓的一條切線交橢圓于， 兩點(diǎn)，求的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】小五、小一、小節(jié)、小快、小樂(lè)五位同學(xué)站成一排，若小一不出現(xiàn)在首位和末位，小五、小節(jié)、小樂(lè)中有且僅有兩人相鄰，求能滿足條件的不同排法共有多少種？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知每一項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列滿足， ．

（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明： ；

（2）證明： ；

（3）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明： ．

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