Question

試求函數(shù)f（x）=-x²+2tx+3 （t∈R）在區(qū)間[-1，1]上的最大值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)所給的二次函數(shù)的性質(zhì)，寫出對于對稱軸所在的區(qū)間不同時，對應(yīng)的函數(shù)的最大值，寫成一個分段函數(shù)形式；

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=-x²+2tx+3=-（x-t）²+3+t² 的對稱軸為 x=t，開口向下．
當-1＜t＜1時，f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值g（t）=f（t）=-x²+2tx+3；
當 t≤-1時，f（x）在區(qū)間[-1，1]上為減函數(shù)，故g（t）=f（-1）=2-2t．
當 t≥1時，f（x）在區(qū)間[-1，1]上為增函數(shù)，故g（t）=f（1）=2+2t．
綜上可得，f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值：g(t)=

t2+3，t∈(-1，1) 2-2t，t∈(-∞，-1] 2+2t，t∈[1，+∞)

；

點評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，針對于函數(shù)的對稱軸是一個變化的值，需要對對稱軸所在的區(qū)間進行討論，是一個易錯題，屬于中檔題．