Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+x．
（1）若對(duì)于任意m，n∈R，有f（

m+n

2

）≤

f(m)+f(n)

2

成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）對(duì)于任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）將x=

m+n

2

，x=m，x=n代入不等式，整理得；a（m-n）²≥0，從而求出a的范圍；
（2）本題可以從a的正、負(fù)入手，考慮a＞0與a＜0兩種情況，綜合運(yùn)用分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想求解，根據(jù)二次函數(shù)圖象與性質(zhì)進(jìn)行討論即可．

解答： 解：（1）由f（

m+n

2

）≤

f(m)+f(n)

2

，
得：

a(m+n)2

2

+（m+n）≤am²+m+an²+n，
整理得：a（m-n）²≥0，
∴a≥0；
（2）由|f（x）|≤1得-1≤ax²+x≤1，x∈[0，1]，
①當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax²+x的圖象開口方向向上，對(duì)稱軸為x=-

1

2a

＜0，
且經(jīng)過原點(diǎn)（0，0），只需f（1）=a+1≤1，即a≤0，矛盾!
②當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax²+x的圖象開口方向向下，對(duì)稱軸為x=-

1

2a

＞0，
且經(jīng)過原點(diǎn)（0，0），f（1）=a+1＜1，
（i）當(dāng)-

1

2a

＜

1

2

，即a＜-1時(shí)，需滿足f（x）_max=f（-

1

2a

）=-

1

4a

≤1及f（x）_min=f（1）=a+1≥-1，即-2≤-

1

4

；
（ii）當(dāng)

1

2

＜-

1

2a

＜1，即-1≤a≤-

1

2

時(shí)，需滿足f（x）max=f（-

1

2a

）=-

1

4a

≤1，
即a≤-

1

4

，
∴-1≤a≤-

1

2

；
（iii）當(dāng)-

1

2a

＞1，即-

1

2

＜a＜0，需滿足f（x）_max=f（1）=a+1≤1，這顯然成立；
③a=0的時(shí)候，不是二次函數(shù) 不合題目要求．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-2，0）．

點(diǎn)評(píng)：分類討論的目的是分解問題難度，化整為零，各個(gè)擊破．本解法比前一解法雖然復(fù)雜不少，但是其中所蘊(yùn)涵的分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想?yún)s是處理很多疑難問題的“利劍”．