Question

已知函數(shù)f（x）=x-alnx-1（a∈R），g（x）=xe^b-x（b∈R），且函數(shù)g（x）的最大值為1．
（1）求b的值；
（2）若函數(shù)f（x）有唯一的零點，且對任意的x₁，x₂∈[3，4]（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|

1

g(x2)

-

1

g(x1)

|恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）g′（x）=

(1-x)eb

ex

，易知x=1是最大值點，利用g（1）=1解出b；
（2）f′（x）=

x-a

x

（x＞0），分a≤0，a＞0時研究單調(diào)性以及零點個數(shù)，得出a≤0，或a=1，然后由導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)f（x）和g（x）在[3，4]上為增函數(shù)，問題對任意的x₁，x₂∈[3，4]（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|

1

g(x2)

-

1

g(x1)

|恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）在[3，4]上的導(dǎo)數(shù)的絕對值小于函數(shù)h（x）=

1

g(x)

在[3，4]上的導(dǎo)數(shù)的絕對值，分離變量a后再利用導(dǎo)數(shù)求最值得答案．

解答： 解：（1）g′（x）=

(1-x)eb

ex

，當(dāng)（-∞，1）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)（1，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
∴g（x）_max═g（1）=

eb

e

=1，
即e^b=e，則b=1；
（2）f′（x）=

x-a

x

（x＞0），
①a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f（1）=0，符合題意；
②a＞0時，當(dāng)0＜x＜a時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞a時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
∴f（x）_min=f（a）=a-lna-1，函數(shù)f（x）有唯一零點，則a-lna-1=0，
∴a=1，
綜上所述，a≤0，或a=1時，函數(shù)f（x）有唯一零點．
當(dāng)a=1時，f（x）=x-lnx-1，f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，
當(dāng)x∈[3，4]時，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)，
當(dāng)a≤0時，f（x）=x-alnx-1為增函數(shù)．
函數(shù)h(x)=

1

g(x)

=

ex-1

x

，當(dāng)x∈[3，4]時，h′(x)=

(x-1)ex-1

x2

＞0，函數(shù)為增函數(shù)．
對任意的x₁，x₂∈[3，4]（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|

1

g(x2)

-

1

g(x1)

|恒成立，
即等價于|1-

a

x

|=|

x-a

x

|＜|

(x-1)ex-1

x2

|，
∵a≤0，或a=1，x∈[3，4]，
即

x-a

x

＜

(x-1)ex-1

x2

，也就是a＞x-

(x-1)ex-1

x

在[3，4]上恒成立．
令t（x）=x-

(x-1)ex-1

x

，t′(x)=1-

ex-1(x2-x+1)

x2

，
當(dāng)x∈[3，4]時，t′（x）＜0，
∴t（x）=x-

(x-1)ex-1

x

在[3，4]上為減函數(shù)，
則t(x)min=t(4)=4-

3

4

e3．
t(x)max=t(3)=3-

2

3

e2．
∴3-

2

3

e2＜a≤0或a=1．

點評：本題考查函數(shù)的零點、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值，考查恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生綜合運用導(dǎo)數(shù)知識解決問題的能力，是壓軸題．