【題目】如圖在直角中，為直角，，，分別為，的中點(diǎn)，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，連接，，為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．

【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)、，四邊形是平行四邊形，由，，得，從而，，求出，由此能證明．

（Ⅱ）以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

證明：（Ⅰ ）取中點(diǎn)，連結(jié)、，

∵ ，，

∴ 四邊形是平行四邊形，

∵ ，，，

∴ ，

∴ ，∴，

在中，，

又∵ 為的中點(diǎn)，∴，

又∵ ，∴．

解：（Ⅱ）∵，，，

∴ ，

以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，，

∴ ，，，

設(shè)面的法向量，

則，取，得，

同理，得平面的法向量，

設(shè)二面角的平面角為，

則，

∴ 二面角的余弦值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】莆田市是福建省“歷史文化名城”之一，也是旅游資源豐富的城市.“九頭十八巷”、“二十四景”美如畫(huà).某文化傳媒公司為了解莆田民眾對(duì)當(dāng)?shù)仫L(fēng)景民俗知識(shí)的了解情況，在全市進(jìn)行網(wǎng)上問(wèn)卷（滿(mǎn)分100分）調(diào)查，民眾參與度極高.該公司對(duì)得分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)擬合，認(rèn)為服從正態(tài)分布.

（1）從參與調(diào)查的民眾中隨機(jī)抽取200名作為幸運(yùn)者，試估算其中得分在75分以上（含75分）的人數(shù)（四舍五入精確到1人）；

（2）在（1）的條件下，為感謝參與民眾，該公司組織兩種活動(dòng)，得分在75分以上（含75分）的幸運(yùn)者選擇其中一種活動(dòng)參與.活動(dòng)如下：

活動(dòng)一 參與一次抽獎(jiǎng).已知抽中價(jià)值200元的禮品的概率為，抽中價(jià)值420元的禮品的概率為；

活動(dòng)二 挑戰(zhàn)一次闖關(guān)游戲.規(guī)則如下：游戲共有三關(guān)，闖關(guān)成功與否相互獨(dú)立，挑戰(zhàn)者依次闖關(guān)，第一關(guān)闖關(guān)失敗者沒(méi)有獲得禮品，第二關(guān)起闖關(guān)失敗者只能獲得上一關(guān)的禮品，獲得的禮品不累計(jì)，闖關(guān)結(jié)束.已知第一關(guān)通過(guò)的概率為，可獲得價(jià)值300元的禮品；第二關(guān)通過(guò)的概率為，可獲得價(jià)值800元的禮品；第三關(guān)通過(guò)的概率為，可獲得價(jià)值1800元的禮品.

若參與活動(dòng)的幸運(yùn)者均選擇禮品價(jià)值期望值較高的活動(dòng)，該公司以該期望值為依據(jù)，需準(zhǔn)備多少元的禮品？

附：若，則，，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知邊長(zhǎng)為2的正三角形ABE所在的平面與菱形ABCD所在的平面垂直，且，點(diǎn)F是BC上一點(diǎn)，且．

（1）當(dāng)時(shí)，證明：；

（2）是否存在一個(gè)常數(shù)k，使得三棱錐的體積等于四棱錐的體積的，若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】“微信運(yùn)動(dòng)”已成為當(dāng)下熱門(mén)的健身方式，小明的微信朋友圈內(nèi)也有大量好友參與了“微信運(yùn)動(dòng)”，他隨機(jī)選取了其中的40人（男、女各20人），記錄了他們某一天的走路步數(shù)，并將數(shù)據(jù)整理如下：

0～2000

2001～5000

5001～8000

8001～10000

男

1

2

3

6

8

女

0

2

10

6

2

（1）若采用樣本估計(jì)總體的方式，試估計(jì)小明的所有微信好友中每日走路步數(shù)超過(guò)5000步的概率；

（2）已知某人一天的走路步數(shù)超過(guò)8000步時(shí)被系統(tǒng)評(píng)定為“積極型”，否則為“懈怠型”.根據(jù)小明的統(tǒng)計(jì)完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有以上的把握認(rèn)為“評(píng)定類(lèi)型”與“性別”有關(guān)？

積極型

懈怠型

總計(jì)

男

女

總計(jì)

附：

0.10

0.05

0.025

0.010

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，又在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；

（2）已知點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)Q在曲線上，若的最小值為，求此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)\.

（1）若且在處的切線垂直于y軸，求a的值；

（2）若對(duì)于任意，都有恒成立，求a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若滿(mǎn)足不等式的正整數(shù)恰有個(gè)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了研究一種昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)和溫度是否有關(guān)，現(xiàn)收集了7組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于下表中，并作出了如圖的散點(diǎn)圖．

溫度/℃

20

22

24

26

28

30

32

產(chǎn)卵數(shù)/個(gè)

6

10

22

26

64

118

310

26

79．4

3．58

112

11．6

2340

35．72

其中．

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)更適宜作為該昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)與溫度的回歸方程類(lèi)型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）．

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；（保留兩位有效數(shù)字）

（3）根據(jù)關(guān)于的回歸方程，估計(jì)溫度為33℃時(shí)的產(chǎn)卵數(shù)．

（參考數(shù)據(jù)：）

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）試問(wèn)線段上是否存在點(diǎn)，使與面所成角的正弦值為？若存在，求出此時(shí)的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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