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如圖，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面AC，且PA＝1．若BC邊上的點Q滿足PQ⊥QD，當存在兩個這樣的點時，求a滿足的條件．

答案：
解析：

　　解：∵PQ⊥QD，又PA⊥平面AC，

　　∴AQ⊥QD．

　　設BQ＝x(0＜x＜a)，則CQ＝a－x，

　　∴AD2＝AQ2＋DQ2＝AB2＋BQ2＋CQ2＋DC2．

　　∴a2＝1＋x2＋(a－x)2＋1，

　　∴x2－ax＋1＝0．

　　當Δ＝a2－4＞0時，上式有兩根，從而滿足條件的點有兩個，且此時方程的兩根為：

　　x＝，均小于a．

　　∴a＞2．


提示：

本題利用空間中的垂直關系轉化為方程問題，從而利用方程的思想來解決問題．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，矩形ABCD中，AB=
8
3
3
，BC=2，橢圓M的中心和準線分別是已知矩形的中心和一組對邊所在直線，矩形的另一組對邊間的距離為橢圓的短軸長，橢圓M的離心率大于0.7．
（I）建立適當的平面直角坐標系，求橢圓M的方程；
（II）過橢圓M的中心作直線l與橢圓交于P，Q兩點，設橢圓的右焦點為F2，當∠PF2Q=
2π
3
時，求△PF2Q的面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，M為AD的中點，則
BM
•
BD
的值為
 
．
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科目：高中數學 來源： 題型：

A 若方程ax-x-a=0有兩個實數解，則a的取值范圍是
（1，+∞）
（1，+∞）

B 如圖，矩形ABCD中邊長AB=2，BC=1，E為BC的中點，若F為正方形內（含邊界）任意一點，則
AE
•
AF
的最大值為
9
2
9
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，矩形ABCD中，DC=
3
，AD=1，在DC上截取DE=1，將△ADE沿AE翻折到D'點，當D'在平面ABC上的射影落在AE上時，四棱錐D'-ABCE的體積是
2
6
-
2
12
2
6
-
2
12
；當D'在平面ABC上的射影落在AC上時，二面角D'-AE-B的平面角的余弦值是
2-
3
2-
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（理）如圖，矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD
（1）問BC邊上是否存在Q點，使
PQ
⊥
QD
，說明理由．
（2）問當Q點惟一，且cos＜
BP
，
QD
＞=
10
10
時，求點P的位置．

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