已知函數(shù)f(x)=log2數(shù)學公式
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,并證明;
(2)求f(x)的反函數(shù)f-1(x),并求使得函數(shù)g(x)=f-1(x)-log2k有零點的實數(shù)k的取值范圍.

解:(1)f(x)的定義域為:(-∞,-1)∪(1,+∞)
∵f(-x)===-f(x),
∴f(x)為奇函數(shù).
(2)由y=,得x=,
∴f-1(x)=,x≠0.
∵函數(shù)g(x)=f-1(x)-log2K有零點,
∴l(xiāng)og2k==1+∈(-∞,-1)∪(1,+∞)
∴k∈(2,+∞)∪(0,).
∴k的取值范圍是(2,+∞)∪(0,).
分析:對(1)先求函數(shù)的定義域,再利用奇、偶函數(shù)的定義證明即可.
對(2)先求出反函數(shù),再求反函數(shù)的值域,然后利用函數(shù)思想分析求K的取值范圍.
點評:本題考查函數(shù)的奇偶性,反函數(shù)的求法及函數(shù)思想的應用.
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
(2)當a=1時,若直線l:y=kx-2與曲線y=f(x)在(-∞,0)上有公共點,求k的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函數(shù)y=f(x)的最小值;
(2)證明:對任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對于函數(shù)f(x)圖象上的不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數(shù)f(x)圖象上存在點M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點M處的切線l∥AB,則稱直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當x0=
x1+x2
2
時,又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當x≥e時,對于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結論.

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已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線x+3y-1=0垂直,若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn,則S2012的值為(  )

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已知函數(shù)f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值點;
(Ⅱ)若直線l過點(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程.

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已知函數(shù)f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實數(shù)a的不同取值,寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)已知當x>0時,函數(shù)在(0,
6
)上單調(diào)遞減,在(
6
,+∞)上單調(diào)遞增,求a的值并寫出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問是否存在經(jīng)過原點的直線l,使得l為曲線C的對稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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