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13.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,且nan+1=2Sn(n∈N*),數(shù)列{bn}滿足b1=12,b2=14,對任意n∈N+,都有bn+12=bn•bn+2
(I)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(II)設(shè){anbn}的前n項和為Tn,若Tn4λ2對任意的n∈N+恒成立,求λ得取值范圍.

分析 (Ⅰ)利用nan+1=2Sn,再寫一式,兩式相減,再疊乘,即可求數(shù)列{an}的通項公式;在等比數(shù)列{bn}滿足b1=12,b2=14,公比為12,由此可得數(shù)列{bn}的通項公式;
(Ⅱ)利用錯位相減法求數(shù)列的和,再將不等式轉(zhuǎn)化為λ>n+22n1對任意的n∈N+恒成立,構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的性質(zhì),即可確定實數(shù)λ的取值范圍.

解答 解:(Ⅰ)∵nan+1=2Sn,∴(n-1)an=2Sn-1(n≥2),兩式相減得,nan+1-(n-1)an=2an,
∴nan+1=(n+1)an,即an+1an=n+1n(n≥2),
又因為a1=1,a2=2,從而a2a1=2,
∴an=1×21×32×…×nn1=n(n≥2),
故數(shù)列{an}的通項公式an=n(n∈N*).
在數(shù)列{bn}中,由bn+12=bn•bn+2,知數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,首項、公比均為12,
∴數(shù)列{bn}的通項公式bn=12n;
(Ⅱ)∵Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=12+2×(122+…+n×12n     ①
12Tn=(122+2×(123+…+(n-1)×12n+n×(12n+1       ②
由①-②,得12Tn=12+(122+(123+…+12n-×(12n+1=1-n+22n+1,
∴Tn=2-n+22n,
Tn4λ2對任意的n∈N+恒成立,λ>n+22n1對任意的n∈N+恒成立,
設(shè)f(n)=n+22n1
f(n)-f(n-1)=n2n1<0,
則f(n)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,f(n)≤f(1)=3恒成立,則λ>3滿足條件.
綜上所述,實數(shù)λ的取值范圍是(3,+∞).

點評 本題考查數(shù)列遞推式,考查數(shù)列的通項,考查錯位相減法求數(shù)列的和,考查恒成立問題,確定數(shù)列的通項,正確求和是關(guān)鍵.

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