Question

11．利用定義證明函數(shù)$f（x）=\frac{3}{x}+1$在區(qū)間[3，6]上是單調(diào)減函數(shù)，并求其值域．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的值域即可．

解答 解：令3≤x₁＜x₂≤6，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{3}{{x}_{1}}$+1-$\frac{3}{{x}_{2}}$-1=3（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=3•$\frac{{x}_{2}{-x}_{1}}{{{x}_{1}x}_{2}}$，
∵3≤x₁＜x₂≤6，∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在[3，6]遞減，
而f（3）=2，f（6）=$\frac{3}{2}$，
故函數(shù)的值域是[$\frac{3}{2}$，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的定義，考查求函數(shù)的值域問題，是一道基礎(chǔ)題．