Question

已知{a_n}為等比數(shù)列，其中a₁=1，且a₂，a₃+a₅，a₄成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式：
（2）設b_n=（2n-1）•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件，利用等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的性質求出等比數(shù)列的公比，由此能求出數(shù)列{

a

n

}的通項公式．
（2）由數(shù)列{

a

n

}的通項公式和b_n=（2n-1）•a_n，求出b_n=（2n-1）•（

1

2

）^n-1，由此利用錯位相減求和法能求出
數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）設在等比數(shù)列{a_n}中，公比為q，
∵a₁=1，且a₂，a₃+a₅，a₄成等差數(shù)列，
∴2（a₃+a₅）=a₂+a₄，
∴2（q²+q⁴）=q+q³，
解得q=

1

2

，
∴a_n=(

1

2

)n-1．
（2）∵an=(

1

2

)n-1，
∴b_n=（2n-1）•a_n=（2n-1）•（

1

2

）^n-1，
∴Tn =1•1+3•

1

2

+5•(

1

2

)2+…+(2n-1)•(

1

2

)n-1，①

1

2

Tn=1•

1

2

+3•(

1

2

)2+5•(

1

2

)3+…+(2n-1)•(

1

2

)n，②
①-②，得：

1

2

Tn=1+2•[

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1]-（2n-1）•(

1

2

)n
=1+2[1-（

1

2

）^n-1]-（2n-1）•（

1

2

）ⁿ
=3-

2n+3

2n

，
∴Tn=6-

2n+3

2n-1

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，是中檔題，解題時要熟練掌握等比數(shù)列、等差數(shù)列的性質，注意錯位相減法的合理運用．