Question

在銳角三角形ABC，若（a-b+c）（a+b+c）=3ac 
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）求

3

sinA+cosA的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）先化簡(jiǎn)式子把結(jié)果代入cosB=

a2+c2-b2

2ac

，求出cosB的值，結(jié)合三角形ABC為銳角三角形求出角B；
（Ⅱ）根據(jù)內(nèi)角和定理得C=120°-A，由角A、B是銳角列出不等式，求出角A的范圍，由兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)式子，由角A的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)，求出式子的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得，（a-b+c）（a+b+c）=3ac，
化簡(jiǎn)得，a²+c²-b²=ac，
由余弦定理得，cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

ac

2ac

=

1

2

，
又三角形ABC為銳角三角形，所以角B=60°；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，A+C=120°，C=120°-A，
又三角形ABC為銳角三角形，所以

0°＜A＜90° 0°＜120°-A＜90°

，
解得30°＜A＜90°，
所以

3

sinA+cosA=2（

3

2

sinA+

1

2

cosA）=2sin（A+30°），
由60°＜A+30°＜120°，所以

3

2

＜sin（A+30°）≤1，
即

3

＜2sin（A+30°）≤2，
所以所求的范圍是：（

3

，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理，兩角和的正弦公式，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)等，考查的知識(shí)點(diǎn)較多，注意銳角三角形中角的范圍的應(yīng)用．