Question

已知函數(shù)f（x）=lnx．
（1）求函數(shù)g（x）=f（x+1）-x的最大值；
（2）若?x＞0，不等式f（x）≤ax≤x²+1恒成立，求實(shí)數(shù)α的取值范圍；
（3）若x₁＞x₂＞0，求證：

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞

2x2

x12+x22

．

Answer 1

分析：（1）由g（x）=ln（x+1）-x，x＞-1，知g′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，由此能求出函數(shù)g（x）=f（x+1）-x的最大值．
（2）由?x＞0，不等式f（x）≤ax≤x²+1恒成立，知

a≥ lnx x a≤x+ 1 x

在x＞0上恒成立，由此能求出實(shí)數(shù)α的取值范圍．（3）當(dāng)x₁＞x₂＞0時(shí)，不等式

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞

2x2

x12+x22

等價(jià)于ln

x1

x2

＞

2• x1 x2 -2

( x1 x2 )2-1

，由此利用構(gòu)造法能夠證明

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞

2x2

x12+x22

．

解答：解：（1）∵f（x）=lnx，g（x）=f（x+1）-x，
∴g（x）=ln（x+1）-x，x＞-1，
則g′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

．…（2分）
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，g′（x）＞0，則g（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，則g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）在x=0處取得最大值g（0）=0．…（4分）
（2）∵?x＞0，不等式f（x）≤ax≤x²+1恒成立，
∴

a≥ lnx x a≤x+ 1 x

在x＞0上恒成立．…（6分）
設(shè)h（x）=

lnx

x

，則h′(x)=

1-lnx

x2

．
當(dāng)x∈（1，e）時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，
∴h（x）在x=e時(shí)取最大值h（e）=

1

e

．
要使f（x）≤ax恒成立，必須a≥

1

e

．．…（8分）
另一方面，當(dāng)x＞0時(shí)，x+

1

x

≥2，要ax≤x²+1恒成立，必須a≤2．
所以，滿足條件的a的取值范圍是[

1

e

，2]．．…（10分）
（3）當(dāng)x₁＞x₂＞0時(shí)，
不等式

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞

2x2

x12+x22

等價(jià)于ln

x1

x2

＞

2• x1 x2 -2

( x1 x2 )2-1

．…（12分）
令t=

x1

x2

，設(shè)u（t）=lnt-

2t-2

t2+1

，t＞1，則u′(t)=

(t2-1)(t+1)2

t(t2+1)2

＞0，
∴u（t）在[1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
∴u（t）≥u（1）=ln1-

2-2

1+1

=0，
∴l(xiāng)n

x1

x2

＞

2• x1 x2 -2

( x1 x2 )2-1

，
∴

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞

2x2

x12+x22

．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最大值的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、構(gòu)造法、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．