Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角∠A，∠B，∠C所對邊的長分別為a，b，c，且sinC=2sin（A-B）．
（Ⅰ）證明：tanA=3tanB；
（Ⅱ）若c=2b，求∠A的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦定理

專題：計算題,證明題,三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）運(yùn)用誘導(dǎo)公式和兩角和差的正弦公式，結(jié)合同角的商數(shù)關(guān)系，即可得證；
（Ⅱ）運(yùn)用正弦定理，結(jié)合條件，即可求得A=2B，代入tanA=3tanB，由二倍角的正切公式，可得tanB，進(jìn)而得到tanA，即可得到A．

解答： （Ⅰ）證明：sinC=2sin（A-B），
即sin（A+B）=2sin（A-B），
即sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB-2cosAsinB，
即sinAcosB=3cosAsinB，
即有tanA=3tanB；
（Ⅱ）解：由正弦定理可得，c=2b即為
sinC=2sinB，
由于sinC=2sin（A-B），
則sinB=sin（A-B），
由A，B為三角形的內(nèi)角，
則B=A-B，則A=2B，
即有tan2B=3tanB，
解得

2tanB

1-tan2B

=3tanB，
即有tanB=±

3

3

，（負(fù)值舍去）．
則有tanA=

3

，
由于A為銳角，
則A=

π

3

．

點評：本題考查三角函數(shù)的求值，考查正弦定理的運(yùn)用，考查誘導(dǎo)公式和兩角和差的正弦公式及二倍角的正切公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．