Question

已知函數(shù)，其中a為實(shí)數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）≥0對(duì)定義域內(nèi)的任意x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）證明：對(duì)任意的正整數(shù)m，n，不等式恒成立．

Answer 1

解：（1）∵，
∴，
①當(dāng)a≤0時(shí)，若0＜x＜1，則f′（x）＜0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，1）；
若x＞1，則f′（x）＞0，故函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（1，+∞）．
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（a，1）；
單調(diào)增區(qū)間是（0，a），（1，+∞）．
③當(dāng)a=1時(shí)，則，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；
⑤當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，a）；
函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間是（0，1），（a，+∞）．
（2）由于f（1）=-，
當(dāng)a＞0時(shí)，f（1）＜0，
此時(shí)f（x）≥0對(duì)定義域內(nèi)的任意x不是恒成立的．
當(dāng)a≤0時(shí)，由（1）得f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的極小值，也是最小值為f（1）=-，
此時(shí)，f（1）≥0，解得a≤-，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-）．
（3）由（2）知，當(dāng)a=-時(shí)，
f（x）=-≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立，
這個(gè)不等式等價(jià)于lnx≤x²-x．
當(dāng)x＞1時(shí)，變換為，
在上面的不等式中，
令x=m+1，m+2，…，m+n，則有
＞-，
即對(duì)任意的正整數(shù)m，n，不等式恒成立．
分析：（1）由，得，由此根據(jù)a的取值范圍進(jìn)行分類討論，能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）由于f（1）=-，當(dāng)a＞0時(shí)，f（1）＜0，此時(shí)f（x）≥0對(duì)定義域內(nèi)的任意x不是恒成立的．當(dāng)a≤0時(shí)，由（1）得f（x）在區(qū)間（0，+∞）上取得最小值為f（1）=-，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）由（2）知，當(dāng)a=-時(shí)，f（x）=-≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立，這個(gè)不等式等價(jià)于lnx≤x²-x．由此能夠證明對(duì)任意的正整數(shù)m，n，不等式恒成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式恒成立的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和分類討論思想的靈活運(yùn)用．