Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（2，2），B（0，4），圓C以線段AB為直徑
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P是圓C上與點(diǎn)A不重合的一點(diǎn)，且OP=OA，求直線PA的方程和△POA的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）確定圓心與半徑，即可求圓C的方程；
（2）利用點(diǎn)斜式可得直線PA的方程，求出PA，點(diǎn)O到直線PA的距離，可求△POA的面積．

解答： 解：（1）設(shè)圓C的圓心C（a，b），半徑為r，則a=1，b=3---------（2分）
r=AC=

(2-1)2+(2-3)2

=

2

--------------------------------------------（4分）
∴圓C的方程為（x-1）²+（y-3）²=2----------------------------------------（6分）
（2）∵OP=OA，CP=CA，∴OC是線段PA的垂直平分線---------------（8分）
又OC的斜率為3，∴PA的斜率為-

1

3

------------------------------------------（9分）
∴直線PA的方程為y-2=-

1

3

(x-2)，即x+3y-8=0-----------------（10分）
∵點(diǎn)O到直線PA的距離d=

|0+0-8|

12+32

=

4 10

5

-------------------------------（11分）
OA=

22+22

=2

2

…..（12分）
∴PA=2

OA2-d2

=2

8-( 4 10 5 )2

=

4 10

5

…（13分）
∴△POA的面積=

1

2

PA•d=

1

2

×

4 10

5

×

4 10

5

=

16

5

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，考查圓的方程，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．