Question

【題目】雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線過且與雙曲線交于、兩點(diǎn)．

（1）若的傾斜角為，，是等腰直角三角形，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2），，若的斜率存在，且，求的斜率；

（3）證明：點(diǎn)到已知雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積為定值是該點(diǎn)在已知雙曲線上的必要非充分條件．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）將代入雙曲線的方程，得出，由是等腰直角三角形，可得出，再將代入可得出的值，由此可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）先求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并設(shè)直線的方程為，將該直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，并求出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，由得出，轉(zhuǎn)化為，利用這兩條直線斜率之積為，求出實(shí)數(shù)的值，可得出直線的斜率；

（3）設(shè)點(diǎn)，雙曲線的兩條漸近線方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式、雙曲線的方程以及必要不充分條件的定義，即可得證.

（1）直線的傾斜角為，，可得直線，代入雙曲線方程可得，

是等腰直角三角形可得，即有，

解得，，則雙曲線的方程為；

（2）由，，可得，

直線的斜率存在，設(shè)為，設(shè)直線方程為，

，可得，

由，聯(lián)立雙曲線方程，

可得，

可得，線段的中點(diǎn)為，

由，可得，

解得，滿足，故直線的斜率為；

（3）證明：設(shè)，雙曲線的兩條漸近線為，

可得到漸近線的距離的乘積為，

即為，可得，

可得在雙曲線或上，

即有點(diǎn)到已知雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積為定值是該點(diǎn)在已知雙曲線上的必要非充分條件．